О природе вероятностных распределений

[Кардановский]

AD:Вы ничего не перепутали? Я,на всякий случай,так сказать,для освежения памяти и укрепления уверенности, заглянул в справочники по теории вероятностей и математической статистике и насчитал там упоминания о всего то около пятидесяти видах (законах) распределения:нормальное (Гауссово),Бернулли,биноминальное,гамма,Дирихле,Коши,Лапласа,логарифмическое,Парето,Паскаля,Стьюдента,ну и так дальше... Что же касается Вашей ссылки на семейство гауссовых кривых,чаще именуемых нормальным распределением,то их действительно можно провести несчетное множество... Кто же спорит то!

[Евгений Машеров]

0. Распределений несчётное множество потому, что монотонно неубывающих функций несчётное множество. А всякая монотонно неубывающая функция, равная 0 на -inf и 1 на +inf, может быть функцией распределения.
Распределений, которым придумали названия, конечное множество (примечание от прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность).
1. Логнормальное распределение потому часто встречается, что в ряде задач естественно рассматривать результат совместного действия нескольких факторов не как их сумму, а как произведение (в частности, когда при нулевом значении какого-либо из факторов результат нулевой). Вот, скажем, прибыль магазина может быть выражена, как (число людей, прошедших мимо магазина)х(вероятность того, что прошедший зайдёт)х(вероятность, что купит)х(сумму денег у него в кармане)х(долю наличных, которые он готов потратить)х(торговую накидку на товар)
В этом случае можно свести задачу к более простой, прологарифмировав модель. Тогда все аргументы в пользу нормальности, выводимые из "сумма случайных факторов порождает гауссовость", дают "произведение случайных факторов порождает логнормальность".
2. Законы распределения - математические и в реальном мире не действуют. Но они могут быть хорошей аппроксимацией для законов, обоснованных физически. При этом, если мы хотим использовать закон, обосновывая его математически, а не на основании эмпирических данных, нужно эмпирически обосновывать принятые при его доказательстве предположения.

[Кардановский]

Евгений: Спорить не буду- распределений, вполне возможно, несчетное множество. Но мы то здесь начали рассуждения о неком множестве ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Я,например, насчитал их в справочниках около полусотни.Я ,так же,высказал здесь предположение (см. выше) или,если хотите,гипотезу, о том,что число ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ может быть конечным. Но это,разумеется, требует доказательств или опровержений соответствующими теоремами... Вы же,насколько я понял,не разделяете ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ от просто распределений и именуете эти законы всего лишь распределениями, получившими собственные названия. Далее: да,действительно,раздел математики "Теория вероятностей" вырос из эмпирической статистики физического мира. Однако,математика такова,что уйдя однажды в абстракцию от реального физического мира, она в значительной степени стала развиваться уже по своим внутренним законам! Почему же мы,в этом смысле,должны делать исключения для теории вероятностей, всякий раз пытаясь ее непременно заземлить на физическую эмпирику?

[Евгений Машеров]

Совершенно верно. От того, что функция распределения получила особое имя, ничего существенного с ней не произошло.
А функций таких несчётное множество (и даже, убирая возможность числить разными законами нормальный с разными параметрами, потребуем, кроме условий монотонности и равенства нулю в минус бесконечности и единице в плюс бесконечности, ещё и нормировки, скажем, чтобы F(0)=1/2 и F(1)=3/4, всё равно их несчётное множество).
И физический смысл у них есть.
Вот простенькая схема. Источник гауссова шума подан на нелинейный элемент. И каждая новая нелинейность породит новый закон, со своими уникальными параметрами - диод один, диодный мост другой, стабилитрон третий, бареттер четвёртый... Причём, введя регулирумый элемент, получим семейство распределений, зависящее от регулирующего параметра.
Повторяю. Название закона распределению дадено только для удобства запоминания и составления библиографии.

[Юрий Косовцов]

Евгений Машеров в сообщении #352690 писал(а):

И физический смысл у них есть.
Вот простенькая схема. Источник гауссова шума подан на нелинейный элемент. И каждая новая нелинейность породит новый закон, со своими уникальными параметрами - диод один, диодный мост другой, стабилитрон третий, бареттер четвёртый... Причём, введя регулирумый элемент, получим семейство распределений, зависящее от регулирующего параметра.

С точки зрения математика - прекрасный пример!

Но с точки зрения прикладника - возникает масса вопросов! Один из них, где взять источник гауссова шума? Не забудем, что тема обсуждения "О природе вероятностных распределений"

[Евгений Машеров]

Ну, так если гауссов шум будет заменён на какой-то иной, хотя и аппроксимирующий его, это лишь расширит класс распределений.

[Юрий Косовцов]

Евгений,

Вы абсолютно правы относительно множества распределений.

Но основная мысль обсуждений в этой теме по-прежнему витает вокруг некоторых, якобы "физически" выделенных распределениях - гауссовых, логнормальных и т.п. - со ссылками на ЦПТ. Я пытался лишь сказать, что такая точка зрения является (увы, распространенным) заблуждением.

Постановка задачи: "Пусть на на вход нелинейного элемента подан гауссов шум..." разумеется, корректна с математической точки зрения. Но если теперь мы попытаемся применить эту теорию к некоей прикладной задаче, то сразу же столкнемся с необходимость иметь на входе этот гауссов шум (а, где взять источник гауссова шума и как убедиться в том, что это именно он?). Ясно, что то же самое относится и к какому-то иному (негауссовому) процессу на входе.

[Кардановский]

Евгений: Не буду пока заниматься разбором доказательств вашей точки зрения по-существу. Хочу лишь задать вопрос:а почему за все время существования теории вероятностей,как раздела математики,в справочники и энциклопедии попало всего то около 50 распределений? Только ли тут дело в их именах собственных?!

[mserg]

Без преувеличения можно сказать, что основные научные знания сосредоточены в виде (математических) моделей. Если в модели часть «параметров» нельзя «померить», либо это очень «дорого», то в модели они фигурируют как случайные величины. Технологически достаточно только равномерное распределенное на интервале от нуля до единицы; остальные могут быть промоделированы с помощью функций от этой величины.

Моделей в реальном мире сколько угодно много, поэтому и распределений будет «бесконечно». Небольшое количество распределений в справочнике можно объяснить достаточно просто. До середины 70-х годов доминировало мнение, что если знать, как работает каждый элемент системы, то можно предсказать ее поведение. Распределения из справочника призваны покрыть поведение «типовых» простых элементов.
Идея понимания поведения системы, исходя из «понимания» ее составных элементов, показала свою ограниченность. Сейчас уже понятно, что практически ни одной нетривиальной задачи нельзя решить с помощью теории вероятностей. Практическое планирование, реальные игры, биржи, проекты и т.п. – теория вероятности об этом молчит «как рыба об лед».

Главная задача на практике – подобрать адекватную модель, а основной вопрос – насколько модель адекватна практическим нуждам. Можно выделить три основных критерия адекватности:
1. Соответствие модели экспериментальным данным
2. «Надежность» модели
3. Ресурсы (компьютерные) для подбора и использования модели
Особенно интересны математические аспекты первых двух критериев.

Обычно вопрос стоит об «оптимальном управлении», т.е. например, вопрос, как выиграть как можно больше на бирже. Если даже удастся построить вероятностную модель биржи, то ее использование может оказаться проблемой, так как оптимизация с условиями случайности – технологически также совершенно дохлая задача. Поэтому для игры на бирже, с точки зрения здравого смысла, нужно прямо подбирать оптимальную стратегию (модель игры), решив вопросы 1-3.

По сему, ответ на вопрос о природе распределения вероятностей для подавляющего большинства практических задач будет: «так устроена жизнь». Изучение простых вероятностных моделей и их «напяливание» на реальную жизнь – почти бесполезно занятие.

[Кардановский]

mserg:Ваше утверждение о том,что "основные научные знания сосредоточены в виде математических моделей..." не бесспорно! А куда же вы тогда дели научные знания из множества "неточных" наук и научные знания из гуманитарных дисциплин...?!
Да,действительно,распределений, наверное, может быть бесконечное множество,возможно даже и несчетное множество. Может быть... Но я то здесь говорю не об этом несчетном множестве всех возможных распределений,а о неких ЗАКОНАХ распределения вероятностей, из наложения друг на друга которых,возможно( и это необходимо еще доказывать теоремой),может быть получено все это несчетное множество распределений...В качестве примера этих ЗАКОНОВ распределения я привел ссылку на перечень из примерно 50 распределений, описанных в справочниках по теории вероятностей. Возможно,это не исчерпывающий перечень ЗАКОНОВ распределения.Возможно,есть и еще какое то количество ЗАКОНОВ распределения,ныне нам пока неизвестных...Возможно...Тем не менее,я рискнул высказать здесь гипотезу о том,что количество таких ЗАКОНОВ распределения все же КОНЕЧНО.Но эта гипотеза,разумеется, тоже требует доказательства соответствующей теоремой...
Не могу разделить вашего мнения о том,что теория вероятности во многих случаях оказывается бессильной в ее практическом применении. Там,где она применена правильно, теория вероятностей прекрасно работает! Возьмем для примеров,хотя бы рассчет радиоэлектронных схем на отказ,прогнозирование погоды и проч.При этом, необходимо помнить,что теория вероятностей лишь инструмент! Поэтому ее эффективность определяется,по большей части,не ее содержанием,а теми,кто применяет ее содержание в конкретной практике... Ведь дайте Вам или мне в руки хоть скрипку Страдивари,мы с вами,увы, не сыграем на ней как Паганини!

[mserg]

Из чего технологически состоит «наложение распределений вероятностей»? Это применение сложений, умножений, добавление констант, определение новых функций, таблиц, и т.п. Сами 50 законов распределения из справочника «сконструированы» из распределения [0,1) с помощью функций. Т.е. технологически, к начальному «базису» элементарных (начальных) функций Вы просто добавляете еще 50.

Достаточно всего одного распределения – [0,1) . Впрочем, об этом я уже написал в предыдущем сообщении.

[Кардановский]

mserg:Да ,употребляя для краткости словосочетание "наложение распределений вероятностей" (вовсе не претендуя называть это словосочетание термином), я имел ввиду то,что вы перечислили несколькими терминами
Что касается тех самых 50 (или,возможно,несколько более) распределений , которые фигурируют во всех справочниках по теории вероятностей в качестве некого базисного набора распределений,или,если так можно выразиться,в качестве некого базисного набора законов распредеделений,то почему выделен и помещен в справочники именно этот набор распределений - этот вопрос нужно,в первую очередь, адресовать не ко мне,а к математическому сообществу,которое трудилось на ниве теории вероятностей,скажем, последние сто лет... Если это сообщество не право в данном вопросе,то вы в праве доказать ему это.Доказательством математическое сообщество принимает,например, теорему,но никак не мнение. Может быть вы и правы...Но сформулируйте свою убежденность в виде теоремы с ее доказательством! А нам тогда останется только согласиться с вами,поаплодировать,включить ваше доказательство в учебники по теории вероятностей,а справочники по этой дисциплине подкорректировать...

[mserg]

См. предупреждение о троллинге на предыдущей странице.
Всем здесь кроме Вас очевидно, что, образно выражаясь, из 4-х букв «ж», «о», «п», «а» нельзя сложить слово ВЕЧНОСТЬ.

[Кардановский]

mserg: Нельзя ли пояснить поподробнее ... Ваша вот эта ехидная задачка на составление кроссворда имеет какое то отношение к теории вероятностей? Представляется,что теория вероятностей настолько интереснаый и малоисследованный раздел математики,что на нем можно было бы обойтись и без разгадываний на галерке кроссвордов от скуки...

[mserg]

Ну, вот, и займитесь. Даже могу подкинуть задачу.
Есть большое количество написанных от руки бинарных изображений цифры 9. Очевидно, что в написании есть что-то общее, а также есть случайные элементы. Задача состоит в том, чтобы разработать вероятностную модель написания цифры 9.
Казалось бы, причём здесь ребус? Возьмите 50 своих распределений из справочника и сложите их в вероятностную модель, как Вы советуете другим. Потом членораздельно объясните, почему модель имеет именно такой вид, а не иной.