Отображения спектров колец

[Joker_vD]

Атья, Макдональд, "Введение в коммутативную алгебру", упражнение в конце 1-ой главы, №21.(III):

Пусть $\varphi \colon A \to B$ — некоторый гомомрфизм колец. Положим $X = \mathrm{Spec} (A)$ и $Y = \mathrm{Spec} (B)$. Пусть $\mathfrak{q} \in Y$. Тогда $\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ — простой идеал в $A$, т.е. некоторая точка из $X$. Таким образом, $\varphi$ индуцирует отображение $\varphi^{*}$ \colon Y \to X. Доказать следующее утверждение:

Пусть $\mathfrak{b}$ — идеал в $B$; тогда $\overline{\varphi^{*}(V(\mathfrak{b}))} = V(\mathfrak{b}^c)$.

Показать, что $\varphi^{*}(V(\mathfrak{b})) \subseteq V(\mathfrak{b}^c)$ удалось легко. Но как показать, что это его замыкание? Я попробовал доказать, что если $\varphi^{*}(V(\mathfrak{b})) \subseteq V(\mathfrak{d})$ для какого-то идеала $\mathfrak{d}$ в $B$, то будет $V(\mathfrak{b}^c) \subseteq V(\mathfrak{d})$, но у меня не получилось.

[Joker_vD]

Наконец-то получилось! Привожу решение, вдруг кто тоже застрянет:

$\varphi^{*}(V(\mathfrak{b})) = \{ \mathfrak{q}^c \mid \mathfrak{q} \in Y,\, \mathfrak{q} \in V(\mathfrak{b}) \}$, пусть оно $\subseteq V(\mathfrak{c}) = \{ \mathfrak{p} \in X \mid \mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{c} \}$, $\mathfrak{c} \in X$. Это значит, что $\mathfrak{q} \in V(\mathfrak{b}) \Rightarrow \varphi^{*}(\mathfrak{q}) \in V(\mathfrak{c})$, иными словами, $\forall \mathfrak{q} \in Y$ $\mathfrak{q} \supseteq \mathfrak{b} \Rightarrow \varphi^{-1}(\mathfrak{q}) \supseteq \mathfrak{c} \Leftrightarrow \mathfrak{q} \supseteq \varphi(\mathfrak{c})$. Воспользуемся тем, что $\mathfrak{c}^e$ — наименьший идеал в $B$, содержащий $\varphi(\mathfrak{c})$, и получим, что $\forall \mathfrak{q} \in Y$ $\mathfrak{q} \supseteq \mathfrak{b} \Rightarrow \mathfrak{q} \supseteq \mathfrak{c}^e$. Поскольку радикал идеала $\mathfrak{a}$ по определению есть пересечение всех простых идеалов, содержащих $\mathfrak{a}$, имеем, что $r(\mathfrak{b}) \supseteq \mathfrak{c}^e$ $\Longrightarrow$ $r(\mathfrak{b}^c) = r(\mathfrak{b})^c \supseteq \mathfrak{c}^{ec} \supseteq \mathfrak{c}$, откуда и имеем $V(\mathfrak{b}^c) = V(r(\mathfrak{b}^c)) \subseteq V(\mathfrak{c})$, что и требовалось доказать.

Просьба все-таки проверить выкладки, любые советы по улучшению стиля только приветствуются.

P.S. Неужели на всем форуме я один прорабатываю эту книгу?

[VAL]

Joker_vD в сообщении #351646 писал(а):

P.S. Неужели на всем форуме я один прорабатываю эту книгу?

Книжка известная. Я, например, курсовую по ней писал. Как раз, по простым спектрам колец. Но это было более 30-ти лет назад :) :(