Гидродинамика нестационарного объекта. Ур-ния Навье-Стокса.

[Pers]

Здравствуйте.
В прошлый раз этот форум мне помог разобраться с некоторыми проблемами. Но постепенно накопились новые вопросы. Надо смоделировать движение жидкости внутри объекта, осуществляющего равномерное движение. А как это принято делать, я так и не нашёл.
Может быть у какой-то стенки искусственно создаётся давление... Может кто с этим сталкивался. В основных книгах по выч. гидродинамике (Роуч, Андерсон) я никаких размышлений на эту тему не увидел.

PS В перспективе собираюсь смоделировать крыльчатку центробежного насоса, но, чувствую, это будет нескоро.

[Парджеттер]

Pers в сообщении #351310 писал(а):

Надо смоделировать движение жидкости внутри объекта, осуществляющего равномерное движение

Что такое равномерное движение? Оно прямолинейное? Если да, то его можно выкинуть, если нет, то какое? Опишите конкретно Вашу задачу.

[Pers]

Да... я неправильно выразился. Для начала бы надо понять, как поступить с равноускоренным движением. В таком случае надо будет добавить в уравнение силу со знаком минус, но что брать за массу - $\rho \cdot dx \cdot dy$?

А потом надо будет понять, что и куда добавлять при моделировании жидкости одного сегмента (промежуток между лопастями) рабочего колеса с цилиндрическими лопастями центробежного насоса. Что-то мне подсказывает, что просто добавив центробежную силу проблему не решить. Не спроста же лопасти имеют такую форму сложную.

[Утундрий]

Pers в сообщении #351445 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что просто добавив центробежную силу проблему не решить.

Решить, решить. Там в другом загвоздка - одной системой координат не обойтись. Вот и выдумываают всякие скользящие сетки и прочую прелесть.

[Парджеттер]

Честно говоря, я только лишь смутно начинаю что-то понимать. Но больше это похоже на разговор с самим собой. Вам следует конкретно и развернуто описать, что же Вы хотите, какую задачу Вы перед собой ставите и что Вы спрашиваете.

Pers в сообщении #351445 писал(а):

Да... я неправильно выразился. Для начала бы надо понять, как поступить с равноускоренным движением. В таком случае надо будет добавить в уравнение силу со знаком минус, но что брать за массу - $\rho \cdot dx \cdot dy$?

Уравнения Навье-Стокса записываются исходя из баланса сил на единицу массы жидкости. Сила инерции также будет действовать на единицу массы, здесь нет никаких подвохов, она просто пойдет в массовые силы. Именно поэтому в классических курсах на это не обращают особого внимания.

Я сейчас пишу особо не думая, как я это люблю делать; но вряд ли сильно ошибусь, если предположу, что уравнения Навье-Стокса в достаточно общей неинерциальной СК будут иметь следующий вид

$$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \frac 12 \nabla (\vec v, \vec v) + (\nabla \times \vec v) \times \vec v+2 \vec \Omega \times \vec v + \vec \Omega \times (\vec \Omega \times \vec r) - \vec r \times \frac{ d \vec \Omega}{d t} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec F +(\nabla, \nabla_v) \vec v $$

где $\vec F$ включает в себя силу инерции от прямолинейного движения, а $\vec \Omega$ - угловая скорость вращения СК. Вообще вопросы вращения жидкостей, если Вам это понадобится, кроме ЛЛ-6 описываются частенько в книжках, которые связаны с вопросами морских и океанических течений (из-за необходимости учета вращения Земли), например Гринспен Теория вращающихся жидкостей.

[Александр Т.]

Парджеттер в сообщении #351456 писал(а):

Я сейчас пишу особо не думая, как я это люблю делать; но вряд ли сильно ошибусь, если предположу, что уравнения Навье-Стокса в достаточно общей неинерциальной СК будут иметь следующий вид

$$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \frac 12 \nabla (\vec v, \vec v) + (\nabla \times \vec v) \times \vec v+2 \vec \Omega \times \vec v + \vec \Omega \times (\vec \Omega \times \vec r) - \vec r \times \frac{ d \vec \Omega}{d t} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec F +(\nabla, \nabla_v) \vec v $$

Не сильно. Во всяком случае в левой части не сильнее, чем в книге "Гринспен. Теория вращающихся жидкостей." (я имею ввиду примечание к формуле 1.2.2 на стр. 11). Интересно — это при переводе было сделано, или и в оригинале то же самое?

Может быть кто-нибудь знает англоязычную книжку, в которой уравнение Навье–Стокса для неравномерно вращающейся системы отсчета записано правильно? Нужна для ссылки в статье.

[Парджеттер]

Александр Т. в сообщении #351652 писал(а):

Не сильно. Во всяком случае в левой части не сильнее, чем в книге "Гринспен. Теория вращающихся жидкостей." (я имею ввиду примечание к формуле 1.2.2 на стр. 11).

Да, это верно. Но это скорее не ошибка, а привычка - я когда-то (не очень долго, правда) занимался геофизической гидродинамикой, там $\Omega$ от времени не зависит.

(Оффтоп)

upd. здесь была написана глупость, которая, впрочем, процитирована ниже

Александр Т. в сообщении #351652 писал(а):

Может быть кто-нибудь знает англоязычную книжку, в которой уравнение Навье–Стокса для неравномерно вращающейся системы отсчета записано правильно? Нужна для ссылки в статье.

В каком смысле "правильно"?

[_serge]

Можно посмотреть в UG от Fluent. Там все подробно, только чуть разбросано по главам.

[Pers]

Господа, вы меня совсем запутали.
Попробую сформулировать проблему ещё раз. Мне нужно написать программку, моделирующую движение жидкости, ограниченной двумя поверхностями, вращающимися вокруг определённой точки. В двумерном пространстве.
У меня уже есть почти правильно работающие "зарисовки", но в них нет вращения.
С какой стороны порекомендуете подойти к данному вопросу? Что почитать?)))

[Парджеттер]

Pers в сообщении #351685 писал(а):

Господа, вы меня совсем запутали.

Я думаю, что причина здесь только в том, что никто не понимает, чего же вам надо.

Pers в сообщении #351685 писал(а):

Попробую сформулировать проблему ещё раз.

Что-то не очень у Вас получается сформулировать внятно. Попробуйте выдавить из себя побольше предложений, а еще лучше картинку.
... а то у меня уже наступает модераторское желание отправить тему в карантин до внятного формулирования предмета обсуждения.

Pers в сообщении #351685 писал(а):

Мне нужно написать программку, моделирующую движение жидкости, ограниченной двумя поверхностями, вращающимися вокруг определённой точки.

Я это понимаю только в совокупности с этим

Pers в сообщении #351310 писал(а):

В перспективе собираюсь смоделировать крыльчатку центробежного насоса

Тогда встречный вопрос - чем не устраивают приведенные уравнения? Дальше может встать вопрос о том, как считать крыльчатки - жесткими или нет, но это упирается в другой вопрос - зачем это всё надо.

Pers в сообщении #351685 писал(а):

В двумерном пространстве.

В двумерном это как? Плоская задача, что ли? Там есть свои подходы.

[Pers]

Не думаю, что иллюстрация сильно поможет, но вот...

A - входная граница, B - выходная. Значения на них поставлю равными значениям в соседних точках.

Сейчас я не понимаю, зачем придумали эти "скользящие" сетки, если можно было обойтись просто добавлением угловой скорости. Сам я предполагал, что можно как-то добавить абсолютные координаты и производить расчёт через небольшие промежутки времени.

[Утундрий]

Pers в сообщении #351692 писал(а):

зачем придумали эти "скользящие" сетки

В центробежных насосах обычно мирно уживаются два типа лопаточек: подвижные (вращающиеся с некоторой постоянной угловой скоростью в случае установившегося режима, который мы для простоты и рассмотрим) и, соответственно, неподвижные (принимающие поток из "улитки" и подающие его на подвижные лопаточки). Просчитать сие представляется возможным лишь двумя способами: вводить вращающуюся сетку и сопрягать ее на границе с неподвижной либо учитывать подвижность границ. В различных CFD-пакетах реализованы обе возможности.

[Pers]

Добавление направляющего аппарата создаст мне только лишние трудности. На данном этапе они ни к чему. Готовыми программными продуктами пользоваться не хочу, так как основной целью ставлю как можно глубже разобраться в данном вопросе. И в перспективе вставить наработки в дипломную работу.
Рассчитывать собираюсь только один "сегмент" рабочего колеса ЦН.

[Утундрий]

Ну, тогда все просто...
Перейдите в неинерциальную систему отсчета в которой область покоится (не забудьте добавить к объемным силам появившиеся в результате такого перехода силы инерции); введите криволинейную сетку, может быть даже аналитически как отображение равномерной на прямоугольнике в криволинейную область; используйте какую-нибудь консервативную форму записи уравнений, например Вивьяна; далее метод контрольных объемов, где надо против потока или TVD если точности жаждете и так далее и так далее...

[Александр Т.]

Парджеттер в сообщении #351665 писал(а):

Александр Т. в сообщении #351652 писал(а):

Не сильно. Во всяком случае в левой части не сильнее, чем в книге "Гринспен. Теория вращающихся жидкостей." (я имею ввиду примечание к формуле 1.2.2 на стр. 11).

Да, это верно. Но это скорее не ошибка, а привычка - я когда-то (не очень долго, правда) занимался геофизической гидродинамикой, там $\Omega$ от времени не зависит.

Чтоб книжку не искали, поясняю - для случая, если угловая скорость вращения зависит от времени, то в левую часть написанного мною уравнения следует добавить член

$$- \vec \Omega \times \frac{d \vec \Omega}{dt}$$

Именно так написано в примечании на стр.11 книги "Гринспен. Теория вращающихся жидкостей." Но это-то как раз и неправильно. А левая часть написанной Вами формулы, где Вы добавили

$$- \vec r \times \frac{d \vec \Omega}{dt}$$

написана правильно. Описки есть в правой части (пропущена кинематическая вязкость и у оператора набла странный индекс), но мотивом для написания сообщения у меня послужили не они, а эта явная (несоблюдение размерности) ошибка в книге, ссылку на англоязычный вариант которой, я хотел было использовать.

Цитата:

Александр Т. в сообщении #351652 писал(а):

Может быть кто-нибудь знает англоязычную книжку, в которой уравнение Навье–Стокса для неравномерно вращающейся системы отсчета записано правильно? Нужна для ссылки в статье.

В каком смысле "правильно"?

См. выше. Правильное уравнение мне известно, но хотелось бы ссылку на солидный источник, где оно выписано без ошибок. (Может быть, конечно, в англоязычной версии книги и нет этой ошибки, но у меня сейчас в этом уверенности нет.)