Можно абстрагироваться от сходимости в
![$C[0, 1]$ $C[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674ec25909e7a93e612ef8b3959bfece82.png)
, это уже вопрос постановки задачи, которая изначально формулируется как задача о непрерывности отображения G.
итак, пусть есть последовательность непрерывных на отрезке [0, 1] функций

. Эта последовательность сходится равномерно на отрезке [0, 1] к функции

, которая, очевидно, также непрерывна на этом отрезке. пусть

- непрерывная на всем

функция. отображение
![$G:C[0, 1] \to C[0, 1]$ $G:C[0, 1] \to C[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bf052741c89ad9f687bff2bcc2a38c82.png)
построим по закону

. Требуется доказать, что последовательность функций

сходится равномерно на [0, 1] к функции

.
Скажем, что семейство функций

равномерно ограничено, если найдется такое

, что для всякого

выполняется

.
Было декларировано, что задача решается с использованием такого факта: функция

непрерывна на компакте, поэтому ограничена. поэтому нормы всех функций

также окажутся конечны и, более того, не превзойдут некого наперед заданного числа. то есть последовательность как раз окажется равномерно ограниченной