Равномерная сходимость последовательности функций

[smile]

Ситуация приблизительно следующая: есть последовательность функций $\{f_n\}_{n = 1}^\infty$ из $C[0, 1]$, которая в этом пространстве, то есть равномерно на $[0, 1]$, сходится к некой $f \in C[0, 1]$. Пусть $\phi \in C(\mathbb{R})$и $ G: C[0, 1] \to C[0, 1] действует по правилу $(G(g))(t) = \phi(g(t))$. Тут преподаватель сделал вывод, что тогда функции $\{G(f_n)\}$ сходятся равномерно на [0, 1] к $G(f)$. Из всех пояснений было, что так как функции $f_n$ сходятся равномерно к ограниченной функции, то они все равномерно ограничены. Верен ли этот вывод и если да, то почему?

[Виктор Викторов]

smile в сообщении #351158 писал(а):

Ситуация приблизительно следующая: есть последовательность функций $\{f_n\}_{n = 1}^\infty$ из $C[0, 1]$, которая в этом пространстве, то есть равномерно на $[0, 1]$, сходится к некой $f \in C[0, 1]$.

Давайте сначала разберёмся с русским языком. Что такое «которая в этом пространстве, то есть равномерно»?

[smile]

не "то есть равномерно", а "то есть равномерно на [0, 1]".
если рассмотреть пространство $C[0, 1]$ с нормой $||f|| = max|f(x)|$ (максимум по $x \in [0, 1]$), то равномерная сходимость последовательности функций на [0, 1] к функции f эквивалентна сходимости последовательности функций к f в пространстве $C[a, b]$

[Виктор Викторов]

Ваш последний комментарий отличается от первоначальной версии. Поработайте и толком разъяните ситуацию. И сделайте это попроще. Кстати, у Вас написано «...то они [функции] все равномерно ограничены.» Дайте, пожалуйста, определение равномерно ограниченной функции.

[smile]

Можно абстрагироваться от сходимости в $C[0, 1]$, это уже вопрос постановки задачи, которая изначально формулируется как задача о непрерывности отображения G.
итак, пусть есть последовательность непрерывных на отрезке [0, 1] функций $\{f_n\}_{n=1}^\infty$. Эта последовательность сходится равномерно на отрезке [0, 1] к функции $f$, которая, очевидно, также непрерывна на этом отрезке. пусть $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ - непрерывная на всем $\mathbb{R}$функция. отображение $G:C[0, 1] \to C[0, 1]$ построим по закону $(G(f))(t) = \phi(f(t))$. Требуется доказать, что последовательность функций $\{G(f_n)\}_{n=1}^\infty$ сходится равномерно на [0, 1] к функции $G(f)$.
Скажем, что семейство функций $\{f_\alpha : E \to \mathbb{R}\}_{\alpha \in \mathbb{A}}$ равномерно ограничено, если найдется такое $C$, что для всякого $\alpha$ выполняется $||f_\alpha||_E < C$.
Было декларировано, что задача решается с использованием такого факта: функция $f$ непрерывна на компакте, поэтому ограничена. поэтому нормы всех функций $f_n$ также окажутся конечны и, более того, не превзойдут некого наперед заданного числа. то есть последовательность как раз окажется равномерно ограниченной

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #351181 писал(а):

«...то они [функции] все равномерно ограничены.» Дайте, пожалуйста, определение равномерно ограниченной функции.

имеется ввиду равномерно по $n$

smile в сообщении #351158 писал(а):

Из всех пояснений было

По сути достаточно непрерывности $G:C[0,1]\to C[0,1]$...

Но ведь легко для данного $a>0$ найти такое $b(a,f,g)>0$, что как только $|f(x)-g(x)|<b$ при всех $x\in [0,1]$, так сразу...

[terminator-II]

Пусть $E$ -- область значений функции $f$. Она компактна как образ компакта при непрерывном отображении. Пусть $E\subseteq [a,b]$ Возьмем отрезок $I=[a-c,b+c],\quad c>0$. В силу того, что сходимость равномерная, начиная с некоторого $n$ $f_n(x)\in I$ при всех $x\in [0,1]$. Остается заметить, что $\phi$ равномерно непрерывна на компакте $I$.