2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 17:41 


07/07/10
4
собственно вопрос: я что-то нигде не могу найти, когда можно сказать, что функция 2-х переменных монотонна? или немонотонна? подскажите пожалуйста, желательно формальное определение

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
В матанализе свойство монотонности определено только для функций одного действительного переменного. Для функции двух переменных не определяется даже возрастание и убывание, разве что в некоторых специальных случаях - по направлению, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 18:12 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Можно определить так. Для частично упорядоченных множеств $\mathfrak{A} = \langle A, \leqslant_A \rangle$, $\mathfrak{B} = \langle B, \leqslant_B \rangle$ функция $f : A \to B$ называется монотонной, если $a_1 \leqslant_A a_2$ влечёт $f(a_1) \leqslant_B f(a_2)$ для всех $a_1, a_2 \in A$. Ну и теперь положить $\mathfrak{B}$ равному $\mathbb{R}$ со стандартным порядком, а $\mathfrak{A}$ равным $\mathbb{R}^2$ с покомпонентным отношением сравнения:
$$
\langle x_1, x_2 \rangle \leqslant_A \langle y_1, y_2 \rangle \Leftrightarrow (x_1 \leqslant y_1) \mathop{\&} (x_2 \leqslant y_2)
$$
Другими словами, функция монотонная, если она монотонно возрастает по каждому своему аргументу. Примеры монотонных функций: $f(x, y) = x + y^3$, $f(x,y) = (x+y)^3$ и т. п...

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А если функция возрастает по одной переменнной и убывает по другой? $z=x-y$.
Тогда надо определить три вида монотонности: убывающая, возрастающая и смешанная.
То есть для хороших функций достаточно проанализировать знаки частных производных в каждой точке?
Кстати... Ну да ладно. Вы же выше этого. Но тем не менее. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 18:35 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
gris в сообщении #350835 писал(а):
Тогда надо определить три вида монотонности: убывающая, возрастающая и смешанная.

Не согласен. Смешанной не бывает!

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А почему Вы монотонность связываете только с возрастанием?
Почему функция $f(x,y)=-x-y$ не может быть назвна монотонно убывающей?
Ах, да. Вы правынасчёт смешанной.
Но тогда не только по каждому аргументу, по вдоль каждого направления из первой четверти?

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 18:47 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Монотонность --- это сохранение порядка. Возможность монотонности по убыванию связана с тем, что на множестве значений (или на области определения) берётся дуальный (то есть обратный) порядок.

А, ну хотя да, "смешанная монотонность" тоже имеет право на существование. Вводим порядок на области определения так:
$$
\langle x_1, x_2 \rangle \leqslant_A \langle y_1, y_2 \rangle \Leftrightarrow (x_1 \leqslant y_1) \mathop{\&} (x_2 \geqslant y_2)
$$

-- Чт сен 09, 2010 22:48:19 --

gris в сообщении #350840 писал(а):
Ах, да. Вы правынасчёт смешанной.

Теперь уже думаю, что не прав :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Да, я думаю, что Вы и тут правы насчёт того, что неправы.
Можно, например, объявить функцию $f(x,y)$ смешанно-монотонной, если $f(-x,y)$ просто монотонная.

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение09.09.2010, 18:57 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Мне нравиться монотонность когда функция на любом компакте достигает своего максимума на границе.
Как это более разрывно сделать?

Неправильный пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение10.09.2010, 11:17 


16/03/10
212
Вообще-то говоря, под монотонным оператором понимается монотонность по некоторому конусу.

Пусть $K$ — конус в линейном пространстве. Конус опеределяет полуупорядоченость $x\preceq y \Longrightarrow x-y\in K$, монотонность функции задается обычным способом $x\preceq y\Longrightarrow f(x)\leqslant f(y)$. Пример ПС для конуса $\mathbb R^+$ положительных направлений.

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение10.09.2010, 11:41 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
В конусе может быть 2 противоположных направления?

А если так: $\forall a,b$ множество $\{A|a<f(A)<b\}$ - односвязно. т.е. оно связно и если ему принадлежит граница многоугольника, то и внутренность принадлежит. Правда еще непрерывность нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение10.09.2010, 12:01 


16/03/10
212
Да вроде нет. Конус $K$ это множество со свойством $x\in K\Leftrightarrow \lambda x\in K$ для любоко неотрицатнельного $\lambda$. Если в конусе есть два противоположных вектора, то конус может содержать противоположные направления. А может и не содержать...

Ваш вопрос про односвязность я не понял (он не сформулирован). Множество $\{u| x\preceq u \preceq y\}$ называется конусным отрезком $[x,y]$. Например, если $K$ конус положительных направлений, то конусный отрезок в $l_2$ компактен, а в $L_2$ нет.

Есть целая теория неподвижных точек монотонных операторов (необязательно непрерывных!)

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение10.09.2010, 12:23 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
VoloCh в сообщении #350968 писал(а):
Если в конусе есть два противоположных вектора, то конус может содержать противоположные направления. А может и не содержать...

Это как? В конусе есть два противоположных вектора, но он не содержит два противоположных направления!?

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение10.09.2010, 12:27 


16/03/10
212
Профессор Снэйп в сообщении #350976 писал(а):
VoloCh в сообщении #350968 писал(а):
Если в конусе есть два противоположных вектора, то конус может содержать противоположные направления. А может и не содержать...

Это как? В конусе есть два противоположных вектора, но он не содержит два противоположных направления!?

Тьфу, ерунда получилась! Правильно читать так: "Конус может в некоторых случаях содержать противоположные направления. Например, если..."

 Профиль  
                  
 
 Re: монотонность функции 2-х переменных
Сообщение10.09.2010, 12:39 


20/04/09
1067
А еще есть понятие монотонности отображения $F:X\to X'$, $X$ -- банахово пространство.
$$(F(x)-F(y),x-y) \ge 0$$ это по-крайней мере по делу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group