монотонность функции 2-х переменных

[legate]

собственно вопрос: я что-то нигде не могу найти, когда можно сказать, что функция 2-х переменных монотонна? или немонотонна? подскажите пожалуйста, желательно формальное определение

[gris]

В матанализе свойство монотонности определено только для функций одного действительного переменного. Для функции двух переменных не определяется даже возрастание и убывание, разве что в некоторых специальных случаях - по направлению, например.

[Профессор Снэйп]

Можно определить так. Для частично упорядоченных множеств $\mathfrak{A} = \langle A, \leqslant_A \rangle$, $\mathfrak{B} = \langle B, \leqslant_B \rangle$ функция $f : A \to B$ называется монотонной, если $a_1 \leqslant_A a_2$ влечёт $f(a_1) \leqslant_B f(a_2)$ для всех $a_1, a_2 \in A$. Ну и теперь положить $\mathfrak{B}$ равному $\mathbb{R}$ со стандартным порядком, а $\mathfrak{A}$ равным $\mathbb{R}^2$ с покомпонентным отношением сравнения:

$$ \langle x_1, x_2 \rangle \leqslant_A \langle y_1, y_2 \rangle \Leftrightarrow (x_1 \leqslant y_1) \mathop{\&} (x_2 \leqslant y_2) $$

Другими словами, функция монотонная, если она монотонно возрастает по каждому своему аргументу. Примеры монотонных функций: $f(x, y) = x + y^3$, $f(x,y) = (x+y)^3$ и т. п...

[gris]

А если функция возрастает по одной переменнной и убывает по другой? $z=x-y$.
Тогда надо определить три вида монотонности: убывающая, возрастающая и смешанная.
То есть для хороших функций достаточно проанализировать знаки частных производных в каждой точке?
Кстати... Ну да ладно. Вы же выше этого. Но тем не менее.

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #350835 писал(а):

Тогда надо определить три вида монотонности: убывающая, возрастающая и смешанная.

Не согласен. Смешанной не бывает!

[gris]

А почему Вы монотонность связываете только с возрастанием?
Почему функция $f(x,y)=-x-y$ не может быть назвна монотонно убывающей?
Ах, да. Вы правынасчёт смешанной.
Но тогда не только по каждому аргументу, по вдоль каждого направления из первой четверти?

[Профессор Снэйп]

Монотонность --- это сохранение порядка. Возможность монотонности по убыванию связана с тем, что на множестве значений (или на области определения) берётся дуальный (то есть обратный) порядок.

А, ну хотя да, "смешанная монотонность" тоже имеет право на существование. Вводим порядок на области определения так:

$$ \langle x_1, x_2 \rangle \leqslant_A \langle y_1, y_2 \rangle \Leftrightarrow (x_1 \leqslant y_1) \mathop{\&} (x_2 \geqslant y_2) $$

-- Чт сен 09, 2010 22:48:19 --

gris в сообщении #350840 писал(а):

Ах, да. Вы правынасчёт смешанной.

Теперь уже думаю, что не прав

[gris]

Да, я думаю, что Вы и тут правы насчёт того, что неправы.
Можно, например, объявить функцию $f(x,y)$ смешанно-монотонной, если $f(-x,y)$ просто монотонная.

[Null]

Мне нравиться монотонность когда функция на любом компакте достигает своего максимума на границе.
Как это более разрывно сделать?

Неправильный пример.

[VoloCh]

Вообще-то говоря, под монотонным оператором понимается монотонность по некоторому конусу.

Пусть $K$ — конус в линейном пространстве. Конус опеределяет полуупорядоченость $x\preceq y \Longrightarrow x-y\in K$, монотонность функции задается обычным способом $x\preceq y\Longrightarrow f(x)\leqslant f(y)$. Пример ПС для конуса $\mathbb R^+$ положительных направлений.

[Null]

В конусе может быть 2 противоположных направления?

А если так: $\forall a,b$ множество $\{A|a<f(A)<b\}$ - односвязно. т.е. оно связно и если ему принадлежит граница многоугольника, то и внутренность принадлежит. Правда еще непрерывность нужна.

[VoloCh]

Да вроде нет. Конус $K$ это множество со свойством $x\in K\Leftrightarrow \lambda x\in K$ для любоко неотрицатнельного $\lambda$. Если в конусе есть два противоположных вектора, то конус может содержать противоположные направления. А может и не содержать...

Ваш вопрос про односвязность я не понял (он не сформулирован). Множество $\{u| x\preceq u \preceq y\}$ называется конусным отрезком $[x,y]$. Например, если $K$ конус положительных направлений, то конусный отрезок в $l_2$ компактен, а в $L_2$ нет.

Есть целая теория неподвижных точек монотонных операторов (необязательно непрерывных!)

[Профессор Снэйп]

VoloCh в сообщении #350968 писал(а):

Если в конусе есть два противоположных вектора, то конус может содержать противоположные направления. А может и не содержать...

Это как? В конусе есть два противоположных вектора, но он не содержит два противоположных направления!?

[VoloCh]

Профессор Снэйп в сообщении #350976 писал(а):

VoloCh в сообщении #350968 писал(а):

Если в конусе есть два противоположных вектора, то конус может содержать противоположные направления. А может и не содержать...

Это как? В конусе есть два противоположных вектора, но он не содержит два противоположных направления!?

Тьфу, ерунда получилась! Правильно читать так: "Конус может в некоторых случаях содержать противоположные направления. Например, если..."

[terminator-II]

А еще есть понятие монотонности отображения $F:X\to X'$, $X$ -- банахово пространство.

$$(F(x)-F(y),x-y) \ge 0$$

это по-крайней мере по делу.