Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Небольшое добавление к представленной теории построения пандиагональных квадратов 6-го пордка.

Отклонения от комплементарности p_i могут быть равны 0, некоторые или все сразу.
Первый найденный мной пандиагональный квадрат 6-го порядка из простых чисел даёт пример, когда все отклонения от комплементарности равны 0. Вот этот квадрат:

11 197 17 167 47 191
181 31 173 61 131 53
139 59 137 103 109 83
43 163 19 199 13 193
149 79 157 29 179 37
107 101 127 71 151 73

Этот квадрат был найден программой за 1 секунду. Он составлен из 18 комплементарных пар с суммой чисел в паре S_c = 210.
Магическая константа равна 3S_c = 630.

Подобный квадрат был получен svb по самому первому варианту представленного алгоритма.

Примеров, когда некоторые отклонения равны 0, много приведено svb, когда он строил квадраты, используя только три группы: одна группа с отклонением равным 0, а две другие с отклонениями +p и -p.

Ещё следует отметить, что среди отклонений могут встречаться одинаковые отклонения. Такой пример мы видим в известном пандиагональном квадрате из последовательных простых чисел с магической константой 930 (он тут уже несколько раз был показан). В этом квадрате такой комплект отклонений:

-14, 34, -60, -70, 50, -24, 10, 10, -36

Интересное наблюдение за статистикой: самые многочисленные группы псевдокомплементарных пар из простых чисел имеют отклонения кратные 6. По своей программе я нашла такой комплект отклонений, в котором все отклонения кратны 6:

-12, -84, -6, 18, 78, 12, -72, -24, -66

Все группы псевдокомплементарных пар простых чисел с такими оклонениями выписаны выше svb. Группы получились хорошие, в каждой группе не меньше 7 пар.

Сейчас как раз пытаюсь построить пандиагональный квадрат с магической константой 486 для данного комплекта отклонений. Пока безрезультатно.
Вчера изменила программу по рекомендации svb о порядке перебора. Выигрыш по времени получился в 3 раза, то есть сейчас полный проход из 12 вложенных циклов выполняется за 30 минут. Это, конечно, хорошо.
Прогнала ещё 4 прохода, но пока квадрат не найден.

Дальше надо думать, как реализовать полностью этот замечательный алгоритм.
По сравнению с общей формулой в этом алгоритме на 4 меньше свободных переменных.
Однако я пока не вижу, как реализовать алгоритм в полном объёме, то есть для всех возможных комплектов отклонений. Таких комплектов получается очень много; для каждого из них нужно найти все группы псевдокомплементарных пар и прогнать программу проверки на предмет построения пандиагонального квадрата из чисел этих групп. Ну, то, что я сейчас делаю только для одного комплекта отклонений.

[Nataly-Mak]

Прогнала ровно половину всех проходов (12), квадрат не найден.
Или программа плохая, или идея реализации плохая, или квадрата пандиагонального 6-го порядка из различных простых чисел с магической константой 486 не существует... всё одно плохо

Что-то дальше крутить программу уже не хочется, хотя осталось работы всего на 6 часов. Обескураживает то, что однозначного ответа о существовании такого квадрата ведь не будет получено в результате выполнения данной программы: в программе реализован всего лишь один случай из $n$, $n$ - это количество различных комплектов отклонений. Хорошо, если квадрат найдётся, что маловероятно. А если не найдётся, надо начинать всё сначала для других комплектов отклонений.

Одним словом, надо придумывать принципиально новую реализацию.

Pavlovsky
ау! Вы куда пропали? Посмотрите на алгоритм svb свежим посторонним взглядом и придумайте что-нибудь. Я уже так его "пережевала", что не вижу очевидных вещей (ну, например, когда шестой элемент в строке или столбце квадрата 6х6 вычисляется по магической константе и известным 5 элементам ).

[svb]

S=486

 89   7  97 107 167  19 
151 127  17 139  11  41 
 43  37  83 103  23 197 
 67  79 149  61  71  59 
  5  73 109  29 113 157 
131 163  31  47 101  13

программа-полуфабрикат работала около 15 минут. Сейчас буду приводить ее в порядок. Алгоритм тот, который был описан. Значения $p$ взяты у Наталии.

[Nataly-Mak]

Ну наконец-то! Я чувствовала, что он существует

Если квадрат нашёлся для моего комплекта отклонений, то и по моей программе он должен найтись, вот в оставшихся 12 проходах он и сидит.

[Nataly-Mak]

Поскольку у меня группа $P1$ записана в файл в таком виде:

11 139 13 137 19 131 23 127 37 113 41 109 43 107 47 103 53 97 61 89 67 83 71 79

то квадрат, начинающийся с числа 89, оказался на 20-ом проходе.
Запустила 20-ый проход (I = 20), квадрат нашёлся через 7 минут, причём точно такой же. И больше ни одного квадрата на этом проходе не найдено, то есть квадрат, начинающийся с числа 89, единственный. Есть ли квадраты, начинающиеся с других чисел указанной группы? Для первых 12 чисел я уже проверила, квадраты не нашлись. Осталось проверить ещё 11 чисел, то есть выполнить оставшиеся 11 проходов.

Впрочем, может быть, это специфика моей программы (что нашёлся только один квдарат, начинающийся с числа 89)?

[iig]

Интересно, но попросите админов перенести эту тему в раздел паранормальности и прочей магии и астрологии.

Предупреждение за оффтопик и разжигание флейма.

[Nataly-Mak]

Предположила, что найдётся квадрат, начинающийся с числа 61 (ворое число в паре 61, 89). Запустила 19-ый прход и... да, квадрат нашёлся:

61  71  59  67  79  149 
 29  113  157  5  73  109 
 47  101  13  131  163  31 
 107  167  19  89  7  97 
 139  11  41  151  127  17 
 103  23  197  43  37  83

Сравнив этот квадрат с квадратом, найденным svb, видим симпатичное преобразование пандиагонального квадрата: в нём можно поменять местами квадранты 1-ый и 3-ий, 2-ой и 4-ый.
Проделала такое преобразование в известном пандиагональном квадрате из последовательных простых чисел, получила такой пандиагональный квадрат:

229 151 179 73 167 131
101 127 173 199 103 227
79 223 83 211 137 197
251 109 239 67 193 71
181 157 107 139 233 113
89 163 149 241 97 191

Значит, теперь достаточно проверять только для одного числа в каждой псевдокомплементарной паре чисел. Так это уменьшает количество проходов вдвое.

[svb]

iig в сообщении #350774 писал(а):

Интересно, но попросите админов перенести эту тему в раздел паранормальности и прочей магии и астрологии.

А какое отношение комбинаторика и программирование имеет к "прочей магии и астрологии"?

-- Чт сен 09, 2010 15:40:17 --

Nataly-Mak в сообщении #350780 писал(а):

видим симпатичное преобразование пандиагонального квадрата:

Это, вроде, сдвиг на торе. Только такой сдвиг имеет тот же набор $p$.
Сейчас возился с программой, естественно кое-что менял и ... она стала вылетать без каких либо результатов. Как обычно, самые глупые ошибки труднее всего искать. Оказалось, что я выкинул из исходного файла простых чисел никому не нужную 3. Но ... так получилось, что в программе я уже отмечал первое простое число, как занятое в массиве масок. В результате с новым исходным файлом не использовалась 5, а без нее просто не было решения .
Вот результат полного перебора:

 23  71  19  67 149 157 
 29 193 101  31  43  89 
 53  79  83  73 181  17 
107  97  11 127   7 137 
113  41  61 151  47  73 
161   5 211  37  59  13 
  1: S=486
 41  67  83  61 229   5 
 23 139 103  37  53 131 
 47  59  89  79  13 199 
113  17 163 109  11  73 
107  31  19 157 101  71 
155 173  29  43  79   7 
  2: S=486
 89   7  97 107 167  19 
151 127  17 139  11  41 
 43  37  83 103  23 197 
 67  79 149  61  71  59 
  5  73 109  29 113 157 
131 163  31  47 101  13 
  3: S=486

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #350781 писал(а):

Это, вроде, сдвиг на торе. Только такой сдвиг имеет тот же набор $p$.

Нет, это не равносильно торическому преобразованию. Что те же самые $p$, это понятно.
А почему у вас нет квадрата, начинающегося с числа 61? Или вы сразу отсекли такие "симметричные" варианты?

Но странно, почему моя программа не выдала два других квадрата? Тоже ошибка какая-то вкралась, наверное.

[Nataly-Mak]

svb
Вижу в первом вашем квадрате два одинаковых числа - 73.
Просто начала проверять числа по группам и сразу обнаружила, что в группе $-p7$ нет числа 73.
Вы повторяетесь в ошибках У вас в программе есть проверка на повторяемость чисел?

-- Чт сен 09, 2010 17:04:46 --

И во втором квадрате два одинаковых числа - 79.

Так значит, всего один квадрат остаётся.

-- Чт сен 09, 2010 17:46:26 --

Да, совсем я утомилась с этой программой

Ну, конечно же, квадрат, начинающийся с числа 61, получается из квадрата, начинающегося с числа 89, параллельным переносом на торе, комбинированным: сначала по оси $x$, а затем по оси $y$.

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #350789 писал(а):

Нет, это не равносильно торическому преобразованию. Что те же самые $p$, это понятно.

Посмотрите повнимательнее, я больше суток не спал и могу ошибаться. Но если из тех же самых чисел, то ... я долго искал нечто подобное в связи с решетками $L(3)$, о которых Вы упоминали. Хотелось бы найти преобразования отличные от торических и поворотов с симметрией, но боюсь, что их нет .

Цитата:

А почему у вас нет квадрата, начинающегося с числа 61? Или вы сразу отсекли такие "симметричные" варианты?

Сам с недоумением на это смотрю, отсекать я еще только собираюсь.

-- Чт сен 09, 2010 16:55:49 --

Nataly-Mak в сообщении #350792 писал(а):

Вижу в первом вашем квадрате два одинаковых числа - 73.

Вот, что значит, пытаться модифицировать программу. Но там в тексте такой ужас

-- Чт сен 09, 2010 17:10:16 --

iig в сообщении #350790 писал(а):

Астрология, гадание и рулетка берут начало от Пифагорейцев, где каждому числу присваивался смысл. Здесь, похоже, то же самое, но не числу, а их квадратам. Не вижу интереса искать другие, разве что может пригодится в криптографии или помехоустойчивом кодировании.

Судя по Вашим словам Ваши интересы лежат в другой плоскости. Квадраты это отличный полигон для проверки многих идей, к тому же за долгие годы многие задачи, связанные с квадратами, так и остаются неприступными. А "приписывать таинственный смысл" чему угодно вообще свойственно людям, но не в этом топике. По этой стороне "магических" квадратов уйма сайтов с различным мракобесием, но лично меня, да и других участников, это абсолютно не интересует.

[Nataly-Mak]

С параллельным переносом на торе я уже разобралась, о чём и написала выше.

Вам надо срочно выспаться. Я тоже уже абсолютно "запарилась" с этой программой, не вижу простейших вещей

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #350792 писал(а):

Просто начала проверять числа по группам и сразу обнаружила, что в группе $-p7$ нет числа 73.
Вы повторяетесь в ошибках У вас в программе есть проверка на повторяемость чисел?

Проверка то есть, но она в данном случае не сработала, т.к. проверялись правильные числа, а в квадрат угодило неправильное. По Вашей наводке на $-p7$ я сразу нашел ошибку - оказалось, что в одном месте вместо индекса 7 попал индекс 4, самое удивительное, что он сразу выделялся на фоне многих 7-ок в этой части программы. А т.к. эта ошибка была и в начальном тексте, то я с тревогой стал думать, а откуда первый то квадрат взялся с подобной ошибкой? Просто повезло, число 103 оказалось и в группе $-p4$ и в группе $-p7$

Сейчас стало похоже на правду, вот полный перебор:

 61  71  59  67  79 149 
 29 113 157   5  73 109 
 47 101  13 131 163  31 
107 167  19  89   7  97 
139  11  41 151 127  17 
103  23 197  43  37  83 
  1: S=486
 89   7  97 107 167  19 
151 127  17 139  11  41 
 43  37  83 103  23 197 
 67  79 149  61  71  59 
  5  73 109  29 113 157 
131 163  31  47 101  13 
  2: S=486

[svb]

Выкладываю программу для тестирования и опытов http://narod.ru/disk/24696326000/ALG_P9.rar.html. Читать readme.txt внутри архива.

Вот еще один, но с другими $p$

 43  37 157  67  73 109 
163 107  71  47  79  19 
 59   7  13 211  29 167 
101 173  53 113  41   5 
 97  11 131  17 127 103 
 23 151  61  31 137  83 
  1: S=486  p2,4,6,8= -84 18 12 -18

[buba987]

Какие магические суммы запускать? Есть хотя бы предположения?