Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)

[Busy_Beaver]

По окружности расставлено 1994 точки, покрашенные в 10 цветов. Известно, что среди любых 100 подряд идущих точек встречаются точки всех цветов. Докажите, что среди каких-то 90 подряд идущих точек тоже встретятся точки всех цветов.

Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада 1994 года. Отборочный тур. 11 класс

Предположим противное. Среди любых 90 подряд идущих точек встречаются не более 9 различных цветов. Теперь предположим, что среди некоторых 10 подряд идущих точек (без ограничения общности с 101 по 110) встречается хотя бы 2 различных цвета. Тогда среди точек 101-120 будет не менее 3 различных цветов, так как среди точек 21-120 должны быть все цвета, а среди 21-110 - не все. Аналогично, среди 101-130 будет не менее 4 цветов, ..., среди 101-190 - не менее 10 цветов, то бишь все. Значит, среди любых 10 подряд идущих точек все одного цвета. Но тогда и вообще все 1994 точки - одного цвета. Противоречие.

Жду Ваших замечаний, как соловей - лета!

*Кстати, если среди Вас есть евреи, С Новым Годом! Шана Това!

[Busy_Beaver]

Я чем-то кого-то обидел?
Почему никто не хочет мне отвечать?

[gris]

У Вас число 1984 нигде не используется в решении. Как-то странно.
Ой, то есть 1994.

[Busy_Beaver]

gris в сообщении #350583 писал(а):

У Вас число 1984 нигде не используется в решении. Как-то странно.

Вот и я об этом подумал. Значит, где-то ошибся. С другой стороны, на олимпиадах часто предлагают задачи, в которых фигурирует номер года проведения олимпиады, и не всегда решение связано именно с этим конкретным числом (иногда нужно доказать какое-нибудь утверждение для любого числа, большего, скажем, пяти, и тогда в условии пишут номер года (просто в дань традиции)).
Кстати, там не 1984, а на 10 больше

[ИСН]

Я покрасил первые 11 точек в первый цвет.
Вторые 11 точек - во второй.
И так далее.
Достигнув 110 (вариант: 220, 330...), замкнул в кольцо.
И что?
Это доказывает, что не "для любого".

[Busy_Beaver]

ИСН в сообщении #350585 писал(а):

Я покрасил первые 11 точек в первый цвет.
Вторые 11 точек - во второй.
И так далее.
Достигнув 110 (вариант: 220, 330...), замкнул в кольцо.
И что?
Это доказывает, что не "для любого".

Вы доказали только частный случай.
При Вашей конкретной раскраске утверждение верно. А как насчёт других раскрасок?

А, простите, неправильно понял...

Честно говоря, теперь уже совсем не понимаю... А Вы уверены в том, что условие задачи Вам понятно?
Можете пояснить, что означает "Это доказывает, что не "для любого""?

[ИСН]

Сорри, мой контрпример - хреновый. Проехали.

[Sasha2]

Без ограничения общности полагаем, что точки равномерно распределены по данной окружности.
Берем эту окружность и делим ее на углы, величина которых равна углу, вмешающему 100 точек.
Поворачиваем на половину этого угла и совмещаем. Отсается убедиться в том, что теперь окружность разбивается на углы, каждый из которых вмещает менее 90 точек.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Дуга длиной 90 точек может занимать 1994 положения, которые получаются друг из друга сдвигом дуги на одну точку по часовой стрелке. Предположим, что в любом положении отсутствует хотя бы один цвет. По крайней мере в 90 подряд идущих положениях синяя тока присутствует, затем она отсутствует самое большее в 10 подряд идущих положениях. Таким образом, синяя точка (как и другие цвета) отсутствует не более 199 раз. Кто же тогда отсутствует в 4 оставшихся случаях?