2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 14:19 


17/08/10

132
Израиль
По окружности расставлено 1994 точки, покрашенные в 10 цветов. Известно, что среди любых 100 подряд идущих точек встречаются точки всех цветов. Докажите, что среди каких-то 90 подряд идущих точек тоже встретятся точки всех цветов.

Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада 1994 года. Отборочный тур. 11 класс

Предположим противное. Среди любых 90 подряд идущих точек встречаются не более 9 различных цветов. Теперь предположим, что среди некоторых 10 подряд идущих точек (без ограничения общности с 101 по 110) встречается хотя бы 2 различных цвета. Тогда среди точек 101-120 будет не менее 3 различных цветов, так как среди точек 21-120 должны быть все цвета, а среди 21-110 - не все. Аналогично, среди 101-130 будет не менее 4 цветов, ..., среди 101-190 - не менее 10 цветов, то бишь все. Значит, среди любых 10 подряд идущих точек все одного цвета. Но тогда и вообще все 1994 точки - одного цвета. Противоречие.

Жду Ваших замечаний, как соловей - лета!

*Кстати, если среди Вас есть евреи, С Новым Годом! Шана Това!

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:03 


17/08/10

132
Израиль
Я чем-то кого-то обидел?
Почему никто не хочет мне отвечать?
:-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
У Вас число 1984 нигде не используется в решении. Как-то странно.
Ой, то есть 1994.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:18 


17/08/10

132
Израиль
gris в сообщении #350583 писал(а):
У Вас число 1984 нигде не используется в решении. Как-то странно.

Вот и я об этом подумал. Значит, где-то ошибся. С другой стороны, на олимпиадах часто предлагают задачи, в которых фигурирует номер года проведения олимпиады, и не всегда решение связано именно с этим конкретным числом (иногда нужно доказать какое-нибудь утверждение для любого числа, большего, скажем, пяти, и тогда в условии пишут номер года (просто в дань традиции)).
Кстати, там не 1984, а на 10 больше :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Я покрасил первые 11 точек в первый цвет.
Вторые 11 точек - во второй.
И так далее.
Достигнув 110 (вариант: 220, 330...), замкнул в кольцо.
И что?
Это доказывает, что не "для любого".

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:25 


17/08/10

132
Израиль
ИСН в сообщении #350585 писал(а):
Я покрасил первые 11 точек в первый цвет.
Вторые 11 точек - во второй.
И так далее.
Достигнув 110 (вариант: 220, 330...), замкнул в кольцо.
И что?
Это доказывает, что не "для любого".

Вы доказали только частный случай.
При Вашей конкретной раскраске утверждение верно. А как насчёт других раскрасок?

А, простите, неправильно понял...

Честно говоря, теперь уже совсем не понимаю... А Вы уверены в том, что условие задачи Вам понятно?
Можете пояснить, что означает "Это доказывает, что не "для любого""?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Сорри, мой контрпример - хреновый. Проехали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение09.09.2010, 05:03 


21/06/06
1721
Без ограничения общности полагаем, что точки равномерно распределены по данной окружности.
Берем эту окружность и делим ее на углы, величина которых равна углу, вмешающему 100 точек.
Поворачиваем на половину этого угла и совмещаем. Отсается убедиться в том, что теперь окружность разбивается на углы, каждый из которых вмещает менее 90 точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение09.09.2010, 09:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск

(Оффтоп)

Дуга длиной 90 точек может занимать 1994 положения, которые получаются друг из друга сдвигом дуги на одну точку по часовой стрелке. Предположим, что в любом положении отсутствует хотя бы один цвет. По крайней мере в 90 подряд идущих положениях синяя тока присутствует, затем она отсутствует самое большее в 10 подряд идущих положениях. Таким образом, синяя точка (как и другие цвета) отсутствует не более 199 раз. Кто же тогда отсутствует в 4 оставшихся случаях?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group