2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множественные значения функций и ... аксиома выбора!
Сообщение08.09.2010, 00:28 


19/11/08
347
Тут в теме об трюке с комплексными числами (topic35882.html) речь зашла о проблеме многозначных функций.

Вкратце, в следующей записи:
$1=-1 \cdot -1$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1 \cdot -1}$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$
$1 = i^2 $
$1=-1$

Ошибка заключается в том, что у функции $\sqrt{x}}$ больше чем одно значение.
Однако невозможно составить алгоритм , который бы выдал бы ,в качестве ответа, нечто следующее:
$1=i \cdot (-i)$
$1=(-i) \cdot i $
$-1=i \cdot i $
$-1=(-i) \cdot (-i)$

Почему?

Да потому, что алгоритм, вычисляющий ,например, $\sqrt{-1}}$ не может "догадаться" что в определенный момент вычисления надо взять ,в качестве ответа, значение корня: $i$ а не $-i$ , поскольку выбор одного из значений будет определяться значением, выданным другим алгоритмом, вычисляющий сомножитель (еще один корень из минус единицы) , а все вместе они зависят также от значения, взятого при извлечении корня из единицы.
Т.е. правильная запись ответа будет следующая:
$(+1,-1)=(+i,-i) \cdot (+i,-i)$
Т.е. в качестве выходного значения может быть только вся совокупность значений функции корень квадратный, но не каждое значение в отдельности.
Т.е. значения многозначных функций - это геометрический объект, а знак равенства означает нахождения точек пересечения двух или больше таких объектов.

Т.е. никакая детализация (выбор конкретного значения корня из нескольких вариантов) невозможна!

Налицо, контрпример, опровергающий ... не много не мало а " Аксиому Выбора"!
У нас есть совокупность различных множеств (значений многозначных функций) , но мы не можем выбрать из каждого множества элементов по одному, поскольку такой выбор, в данном примере , приведет к некорректным результатам, к ошибкам.
Типа:
$1=-1$

Конечно, можно заявить, что мол нас не интересует "контекст" а достаточно просто тыкнуть пальцем в первые попавшиеся элементы каждого из множеств ... но!
Неправильно выбрав элементы, мы разрушим их виртуальную связь! - определяющее условие при котором произведение членов из двух множеств A и B должны равняться члену из множества C.
А это условие входит в определение самих этих множеств!
Т.е. если мы сделаем неправильный выбор элементов , то эти элементы перестанут быть членами этих множеств, поскольку перестанут удовлетворять определяющим условиям.

Какие будут возражения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множественные значения функций и ... аксиома выбора!
Сообщение08.09.2010, 03:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Андрей АK в сообщении #350434 писал(а):
Тут в теме об трюке с комплексными числами (topic35882.html) речь зашла о проблеме многозначных функций.

Вкратце, в следующей записи:
$1=-1 \cdot -1$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1 \cdot -1}$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$
$1 = i^2 $
$1=-1$

Ошибка заключается в том, что у функции $\sqrt{x}}$ больше чем одно значение.
Однако невозможно составить алгоритм , который бы выдал бы ,в качестве ответа, нечто следующее:
$1=i \cdot (-i)$
$1=(-i) \cdot i $
$-1=i \cdot i $
$-1=(-i) \cdot (-i)$

По этому поводу толком высказался evert:
ewert в сообщении #349829 писал(а):
Это -- хорошая иллюстрация того, что нельзя формально определять $i$ как $\sqrt{-1}$ (как довольно часто делают, и даже во вполне серьёзных книжках -- правда, не математических).

Вам мало?

Андрей АK в сообщении #350434 писал(а):
Налицо, контрпример, опровергающий ... не много не мало а " Аксиому Выбора"!

У Вас речь идёт о конечной совокупности конечных множеств. Аксиома Выбора здесь просто ни при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множественные значения функций и ... аксиома выбора!
Сообщение08.09.2010, 10:13 


19/11/08
347
Конечность или бесконечность множеств - вот это действительно не при чем.
Единица в иррациональной степени дает бесконечное количество корней.
Дважды примененная операция возведения в степень, даёт бесконечное количество бесконечных множеств.
Да и единицу можно представить как бесконечное произведение единиц.

А пример ,всего лишь, иллюстрирует, что могут быть такие разбиения чисел на такие множества (в частности, значения многозначных функций или отображения точки в прямую и т.п.) которые невозможно "детализировать" - т.е. рассматривать конкретные элементы множества вне этого множества.
Такие множества можно рассматривать только как некие неделимые совокупности элементов, по крайней мере на период, пока не завершатся все действия с этими множествами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множественные значения функций и ... аксиома выбора!
Сообщение08.09.2010, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Андрей АK в сообщении #350484 писал(а):
Конечность или бесконечность множеств - вот это действительно не при чем.

Вам нужно разобраться в аксиоме выбора. Просмотрите сообщения на форуме на эту тему, почитайте книжки. I am out.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group