Множественные значения функций и ... аксиома выбора!

[Андрей АK]

Тут в теме об трюке с комплексными числами (topic35882.html) речь зашла о проблеме многозначных функций.

Вкратце, в следующей записи:
$1=-1 \cdot -1$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1 \cdot -1}$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$
$1 = i^2 $
$1=-1$

Ошибка заключается в том, что у функции $\sqrt{x}}$ больше чем одно значение.
Однако невозможно составить алгоритм , который бы выдал бы ,в качестве ответа, нечто следующее:
$1=i \cdot (-i)$
$1=(-i) \cdot i $
$-1=i \cdot i $
$-1=(-i) \cdot (-i)$

Почему?

Да потому, что алгоритм, вычисляющий ,например, $\sqrt{-1}}$ не может "догадаться" что в определенный момент вычисления надо взять ,в качестве ответа, значение корня: $i$ а не $-i$ , поскольку выбор одного из значений будет определяться значением, выданным другим алгоритмом, вычисляющий сомножитель (еще один корень из минус единицы) , а все вместе они зависят также от значения, взятого при извлечении корня из единицы.
Т.е. правильная запись ответа будет следующая:
$(+1,-1)=(+i,-i) \cdot (+i,-i)$
Т.е. в качестве выходного значения может быть только вся совокупность значений функции корень квадратный, но не каждое значение в отдельности.
Т.е. значения многозначных функций - это геометрический объект, а знак равенства означает нахождения точек пересечения двух или больше таких объектов.

Т.е. никакая детализация (выбор конкретного значения корня из нескольких вариантов) невозможна!

Налицо, контрпример, опровергающий ... не много не мало а " Аксиому Выбора"!
У нас есть совокупность различных множеств (значений многозначных функций) , но мы не можем выбрать из каждого множества элементов по одному, поскольку такой выбор, в данном примере , приведет к некорректным результатам, к ошибкам.
Типа:
$1=-1$

Конечно, можно заявить, что мол нас не интересует "контекст" а достаточно просто тыкнуть пальцем в первые попавшиеся элементы каждого из множеств ... но!
Неправильно выбрав элементы, мы разрушим их виртуальную связь! - определяющее условие при котором произведение членов из двух множеств A и B должны равняться члену из множества C.
А это условие входит в определение самих этих множеств!
Т.е. если мы сделаем неправильный выбор элементов , то эти элементы перестанут быть членами этих множеств, поскольку перестанут удовлетворять определяющим условиям.

Какие будут возражения?

[Виктор Викторов]

Андрей АK в сообщении #350434 писал(а):

Тут в теме об трюке с комплексными числами (topic35882.html) речь зашла о проблеме многозначных функций.

Вкратце, в следующей записи:
$1=-1 \cdot -1$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1 \cdot -1}$
$\sqrt{1}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}$
$1 = i^2 $
$1=-1$

Ошибка заключается в том, что у функции $\sqrt{x}}$ больше чем одно значение.
Однако невозможно составить алгоритм , который бы выдал бы ,в качестве ответа, нечто следующее:
$1=i \cdot (-i)$
$1=(-i) \cdot i $
$-1=i \cdot i $
$-1=(-i) \cdot (-i)$

По этому поводу толком высказался evert:

ewert в сообщении #349829 писал(а):

Это -- хорошая иллюстрация того, что нельзя формально определять $i$ как $\sqrt{-1}$ (как довольно часто делают, и даже во вполне серьёзных книжках -- правда, не математических).

Вам мало?

Андрей АK в сообщении #350434 писал(а):

Налицо, контрпример, опровергающий ... не много не мало а " Аксиому Выбора"!

У Вас речь идёт о конечной совокупности конечных множеств. Аксиома Выбора здесь просто ни при чём.

[Андрей АK]

Конечность или бесконечность множеств - вот это действительно не при чем.
Единица в иррациональной степени дает бесконечное количество корней.
Дважды примененная операция возведения в степень, даёт бесконечное количество бесконечных множеств.
Да и единицу можно представить как бесконечное произведение единиц.

А пример ,всего лишь, иллюстрирует, что могут быть такие разбиения чисел на такие множества (в частности, значения многозначных функций или отображения точки в прямую и т.п.) которые невозможно "детализировать" - т.е. рассматривать конкретные элементы множества вне этого множества.
Такие множества можно рассматривать только как некие неделимые совокупности элементов, по крайней мере на период, пока не завершатся все действия с этими множествами.

[Виктор Викторов]

Андрей АK в сообщении #350484 писал(а):

Конечность или бесконечность множеств - вот это действительно не при чем.

Вам нужно разобраться в аксиоме выбора. Просмотрите сообщения на форуме на эту тему, почитайте книжки. I am out.