Ну, "очевидно" если

и

коммутируют, общий базис в котором они диагональны, есть.
(Оффтоп)
Надеюсь, вы уже поняли что мои слова надо проверять и проверять
И тогда все матрицы диагональны и уравнение решается просто.
Это раз.
Можно попробовать разбить все матрицы на блоки (

,

,

,

), после чего попытаться что-то сделать с четыремя зацепленными матричными уравнениями "попроще". С ходу ничего хорошего там правда не получается.
Это два.
Я попробовал решить руками уравнение с матрицами 2x2, которые вы привели и у меня получилось, что решение далеко не тривиальное. Так что видимо решение общей задачи будет весьма и весьма непростым.
Это три.