Можно всё, но не всё нужно. Вы тем самым требуете непрерывности начального условия
Согласен.
Что-то вышенаписанное не понял, объясните пожайлуста поподробнее. как при ОДУ

может быть

?
Для уравнения

, начальные условия задаются в точке

как

, а граничные на границе (скажем так), то есть

.
По-моему

Правильно, это общее решение. Но Вы то тоже не рассматриваете общего решения. А рассматриваете, только некоторые.
А всё-таки почему вы решили, что решение именно

? Оно ведь не удовлетворяет вашим граничным условиям.
Не граничным, а начальным. Почему же не удовлетворяет,

.