Бесконечное множество решений уравнений в частных производны

[IgorMerzliakov]

Доброе время суток. Что-то застрял на вопросе решения уравнений в частных производных. Существуют такие уравнения, число решений которых стремится к бесконечности, например уравнение:

$\frac{\partial \omega}{\partial t} = a \frac{\partial ^2 \omega}{\partial x^2}$

Это ДУ имеет несколько решений следующего вида:

$\omega (x) = A x + B$
$\omega (x,t) = A (x^2 + 2 a t) + B$
$\omega (x,t) = A (x^3 + 6 a t x) + B$
$\omega (x,t) = A (x^4 + 12 a t x^2 + 6 a^2 t^2) + B$

И этот ряд можно продолжать до бесконечности. Решения одной и той же функции явно не совпадают. Поэтому возникает, собственно, вопрос: почему это так и как выбрать правильное решение? И что можно почитать по этой теме?

[Alexey1]

Ну чтобы выбрать одно решение Вам необходимо задать условия, которые будут определять решение. Например,
$u_t-ku_{xx}=0, \ 0<x<L, \ t>0, \ k>0$,
$u(0,t)=u(L,t)=0, \ t \geq 0$,
$u(x,0)=f(x), \ 0 \leq x \leq L, \ f(0)=f(L)=0$.

[AD]

Подумайте сначала вот над чем. Есть уравнение $\frac{\partial u}{\partial x}=0$. Сколько у него решений? Какое из них правильное?

P.S. Какой-то совсем детский вопрос Вы задаёте. Мне кажется, что ответ на него должен быть первым, что будет сказано в любом учебнике.

[IgorMerzliakov]

Alexey1, если я вас правильно понял, то совсем не складно получается.

Оставим на закуску равенство $u(x,0)=f(x), \ 0 \leq x \leq L, \ f(0)=f(L)=0$ для определения вида нужного уравнения, с этим ещё предстоит разобраться. Получается что ГУ для определения коэффициентов $A$ и $B$ следующие:

$u(0,t)=u(L,t)=0, \ t \geq 0$

Но какое бы уравнение мы сюда не подставляли, в итоге получаем тривиальное решение задачи, например:

$\omega (x,t) = A (x^4 + 12 a t x^2 + 6 a^2 t^2) + B$

$u(0,t)=A (6 a^2 t^2) + B = 0$
$u(L,t)=A(L^4 + 12 a t L^2 + 6 a^2 t^2)+B=0$

Вычтем одно из другого и получим, что $A=0$ и следовательно $B=0$. И так для любого из уравнений.

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #349794 писал(а):

Но какое бы уравнение мы сюда не подставляли, в итоге получаем тривиальное решение задачи,

Что ж, значит, в этом классе функций решение действительно только тривиальное. А с чего Вы взяли, что оно должно иметь именно такой вид?

Судя по всему, Вы не знакомы даже с обыкновенными дифференциальными уравнениями (для функции одной переменной). Вот ими для начала и займитесь, и много-много потом уж думайте про уравнения в частных производных.

[ИСН]

+1 к предыдущему комменту. А афтару рекомендую для расширения сознания проверить следующее решение (осторожно, возможен взрыв мозга): $\omega (x,t) = e^{-at}\cdot\sin x$

[IgorMerzliakov]

ewert в сообщении #349801 писал(а):

Что ж, значит, в этом классе функций решение действительно только тривиальное.

А с чего Вы взяли, что оно должно иметь именно такой вид?

Судя по всему, Вы не знакомы даже с обыкновенными дифференциальными уравнениями (для функции одной переменной). Вот ими для начала и займитесь, и много-много потом уж думайте про уравнения в частных производных.

А если решение тривиальное, значит мы не можем ответить на главный вопрос: какое уравнение выбрать...
Что решение имеет именно такой вид я взял из справочника и просто хочу разобраться, актуально ли применение такого решения. Дело в том что в моих исследованиях возникло дифференциальное уравнение в частных производных. В процессе его решения по методу Фурье я должен решать 15 уравнений (где я возьму 15 уравнений, не могу же я их из пальца вытягивать), а если возможно применить данный метод, получается 7 уравнений, с учётом того условия, которое привёл Алексей1: одно уравнение на выбор нужного решения.

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #349896 писал(а):

Дело в том что в моих исследованиях возникло дифференциальное уравнение в частных производных. В процессе его решения по методу Фурье

Ну как Вы можете применять хоть какой метод, если даже не имеете представления о предмете разговора. Для Вас же даже понятие начального условия-- уже некоторая загадка.

[Alexey1]

Решение той задачи котоую я привел имеет вид
$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} B_n \sin\frac{\pi n x}{L} e^{-k(\frac{\pi n}{L})^2 t$,
$B_n=\frac{2}{L}\int_o^L \sin\frac{\pi n x}{L} f(x) dx, \ n=1,2,...$
при условии, что ряд Фурье функции $f$ равномерно сходится.
Это решение получено методом разделения переменных. Те функции которые Вы привели, далеко не все решения дифференциального уравнения.
Например, рассмотрите ОДУ $\frac{d^2y}{dx^2}=0, \ y(1)=0, \ y'(1)=1$ и одно из решений $y=Ax$. Не рассматривая условия $y'(1)=1$ (как и Вы решили не учитывать $u(x,0)=f(x)$), получаем решение $y(x)=0, \ \forall x$. Но это не верно, так как решенем является функция $y(x)=x-1$ - эта функция удовлетворяет и уравнению и начальным условиям.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #349911 писал(а):

при условии, что ряд Фурье функции $f$ равномерно сходится.

Зачем??!...

[IgorMerzliakov]

ewert в сообщении #349907 писал(а):

Ну как Вы можете применять хоть какой метод, если даже не имеете представления о предмете разговора. Для Вас же даже понятие начального условия-- уже некоторая загадка.

Ув. ewert, а с чего вы взяли, что я представления не имею о начальных условиях? Я достаточно компетентен в этой области. Чего вы зацикливаетесь? Ответьте тогда просто, что выбрать конкретное решение из предложенных мной невозможно.

Ув. Alexey1, я имею представление о методе фурье (разделения переменных) и прекрасно понимаю, что это не все решения, но мне искренне хотелось бы выбрать решение именно из приведённого мной ряда, по перечисленным выше причинам (а именно разницей между количеством решаемых уравнений при определении неизвестных коэффициентов).

[ИСН]

Плохи дела.

[Alexey1]

ewert в сообщении #349918 писал(а):

Alexey1 в сообщении #349911 писал(а):

при условии, что ряд Фурье функции $f$ равномерно сходится.

Зачем??!...

Ну это предположение можно сделать, чтобы обосновать коммутативность суммирования (бесконечная сумма) и интегрирования при поиске значений коэффициентов ряда Фурье для функции $f$.

IgorMerzliakov в сообщении #349935 писал(а):

Ув. Alexey1, я имею представление о методе фурье (разделения переменных) и прекрасно понимаю, что это не все решения, но мне искренне хотелось бы выбрать решение именно из приведённого мной ряда, по перечисленным выше причинам (а именно разницей между количеством решаемых уравнений при определении неизвестных коэффициентов).

Я с этим не спорю. Но согласитесь, что Вам надо выбрать решение удовлетворяющее условиям (граничным, начальным). А Вы ещё добавляете одно условие, именно, нежелание решать какие-то дополнительные уравнения.

[IgorMerzliakov]

Alexey1 в сообщении #349911 писал(а):

Например, рассмотрите ОДУ $\frac{d^2y}{dx^2}=0, \ y(1)=0, \ y'(1)=1$.

Что-то вышенаписанное не понял, объясните пожайлуста поподробнее. как при ОДУ $\frac{d^2y}{dx^2}=0$ может быть $y'(1)=1$?

Alexey1 в сообщении #349911 писал(а):

и одно из решений $y=Ax$.

По-моему $y=Ax+B$

Alexey1 в сообщении #349911 писал(а):

Не рассматривая условия $y'(1)=1$ (как и Вы решили не учитывать $u(x,0)=f(x)$), получаем решение $y(x)=0, \ \forall x$.

Мне кажется, что $y(0)=B=0$ $y(L)=AL=0$ отсюда $y(x)=0$

Alexey1 в сообщении #349911 писал(а):

Но это не верно, так как решенbем является функция $y(x)=x-1$ - эта функция удовлетворяет и уравнению и начальным условиям.

А всё-таки почему вы решили, что решение именно $y(x)=x-1$? Оно ведь не удовлетворяет вашим граничным условиям.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #349943 писал(а):

Ну это предположение можно сделать, чтобы обосновать коммутативность суммирования (бесконечная сумма) и интегрирования при поиске значений коэффициентов ряда Фурье

Можно всё, но не всё нужно. Вы тем самым требуете непрерывности начального условия, которая а) в практических задачах далеко не всегда наблюдается и б) совсем ни к чему -- вполне достаточно его суммируемости (обычно требуют жёстче -- суммируемости с квадратом -- но это лишь для удобства изложения).