Что означает вероятностная запись P(Y=y|C=c(y),X)

[--mS--]

Dims в сообщении #349238 писал(а):

Что тогда такое $P(X)(w)$?

При чём тут $P(X)(w)$? Такая запись является бессмысленной. Речь выше шла про условное распределение $P(Y=y\,|\,X)(w)$.

[Dims]

--mS-- в сообщении #349245 писал(а):

Речь выше шла про условное распределение $P(Y=y\,|\,X)(w)$.

Ок, какой смысл этого выражения, при тех же условиях?

-- Чт сен 02, 2010 22:27:12 --

P.S. Пусть при этом Y определено на множестве из одного элемента {2} с вероятностью 100% ;)

-- Чт сен 02, 2010 22:29:11 --

P.P.S. А нет, не так, пусть Y определено на множестве {2,3}, причём со 100% вероятностью Y=2 когда X=0 и Y=3 когда X=1.

[Alexey1]

Dims в сообщении #349238 писал(а):

Ничего не понимаю. Допустим $\Omega = {0,1}$, вероятность определена так $P(0)=0,3, P(1)=0,7$, события несовместны. Что тогда такое $P(X)(w)$?

Так обычно не пишут. Имеет смысл говорить о вероятности события $X \in B$, где $B$ это множество из борелевской сигма-алгебры, то есть $P(X \in B)$ - вероятность, что значения случайной величины $X$ попадут в множество $B$. В частности, в Вашем примере надо писать $P(X=x)$, где $x \in \{1,2\}$. Теперь по порядку.
Рассмотрим случайные величины $X,Y:\Omega \to \mathbb R$ заданные на измеримом пространстве $(\Omega,\mathcal F)$, то есть функции измеримые относительно $\mathcal F$, сигма-алгебры подмножеств $\Omega$.
Когда речь заходит об условных вероятностях, то можно говорить об условных вероятностях относительно сигма-алгебры. Запись $P(Y=y|X)(w)$ это тоже самое, что $P(Y=y|\sigma (X))$, где $\sigma (X)$ - это сигма-алгебра порождённая $X$.
Также, имеет смысл говорить об условных вероятностях относительно событий $P(Y=y|X=x)$. Основное отличие от $P(Y=y|X)(w)$ заключается в том, что $P(Y=y|X=x)$ не является случайной величиной, то есть функцией измеримой относительно сигма-алгебры $\mathcal F$ (смотрите определение случайной величины выше).
Например, $\Omega=\{0,1,2,3\}$, $\mathcal F=2^{\Omega}$ - все подмножества $\Omega$, $P(\omega)=\frac{1}{4}$.
Определим $Y(\omega)=\omega$ и

$$X(\omega)=\left\{ \begin{array}{l} 1 , \ \omega \in \{0,1\},\\ 2, \ \omega \in \{2,3\}, \end{array} \right$$

тогда $P(Y=1|X=1)=\frac{1}{2}$ вне зависимости от $\omega$, а вот

$$P(Y=1|X)(w)=\left\{ \begin{array}{l} 1/2 , \ X(\omega)=1,\\ 0, \ X(\omega)=2. \end{array} \right$$

[--mS--]

Dims в сообщении #349238 писал(а):

Допустим $\Omega = {0,1}$,

Dims в сообщении #349251 писал(а):

P.P.S. А нет, не так, пусть Y определено на множестве {2,3}, причём со 100% вероятностью Y=2 когда X=0 и Y=3 когда X=1.

В Вашем сообщении выше пространство элементарных исходов никаких точек 2 и 3 не содержало. Поэтому $Y$ на множестве $\{2, \, 3\}$ определено быть не может. Да и случайная величина $X$ не была задана никак.

[Henrylee]

Dims в сообщении #349251 писал(а):

--mS-- в сообщении #349245 писал(а):

Речь выше шла про условное распределение $P(Y=y\,|\,X)(w)$.

Ок, какой смысл этого выражения, при тех же условиях?

P.P.S. А нет, не так, пусть ....... Y=2 когда X=0 и Y=3 когда X=1.

В этом случае

$$ \Prob(Y=y\,|\,X)(w)=\mathbb{I}_{\{X=y-2\}}(\omega) $$

($\mathbb{I}$- индикатор)
Хотя вряд ли это поможет понять..
Лучше так:

$$ \Prob(Y=y|X=x)=\varphi(x,y) $$

-некотрая функция от $x$ и $y$. Тогда

$$ \Prob(Y=y|X)=\varphi(X,y) $$

-случайная величина.

[Dims]

Henrylee в сообщении #349446 писал(а):

Лучше так:

$$ \Prob(Y=y|X=x)=\varphi(x,y) $$

-некотрая функция от $x$ и $y$. Тогда

$$ \Prob(Y=y|X)=\varphi(X,y) $$

-случайная величина.

А что это за случайная величина? Как она связана с другими случайными величинами в данном примере?

[Henrylee]

Dims в сообщении #349451 писал(а):

А что это за случайная величина?

Так вроде написал уже

Dims в сообщении #349451 писал(а):

Как она связана с другими случайными величинами в данном примере?

Гм.. с какими другими?

[Dims]

Например, с величиной X или с величиной Y на простом числовом примере на небольших множествах событий, желательно из 2 элементов.

И что такое X(w)?

-- Сб сен 04, 2010 09:01:00 --

А, дошло. Но тогда P(X) имеет-таки смысл: это случайная величина, принимающая значение вероятности того исхода, который выпал.

-- Сб сен 04, 2010 09:01:55 --

Вопрос про X(w) остаётся -- это способ обозначить, что X является случайной величиной на множестве w?

[Henrylee]

Dims в сообщении #349468 писал(а):

Например, с величиной X или с величиной Y на простом числовом примере на небольших множествах событий, желательно из 2 элементов.

Ну так вот оно:

Henrylee в сообщении #349446 писал(а):

Dims в сообщении #349251 писал(а):

--mS-- в сообщении #349245 писал(а):

Речь выше шла про условное распределение $P(Y=y\,|\,X)(w)$.

Ок, какой смысл этого выражения, при тех же условиях?

P.P.S. А нет, не так, пусть ....... Y=2 когда X=0 и Y=3 когда X=1.

В этом случае

$$ \Prob(Y=y\,|\,X)(w)=\mathbb{I}_{\{X=y-2\}}(\omega) $$

($\mathbb{I}$- индикатор)

Dims в сообщении #349468 писал(а):

А, дошло. Но тогда P(X) имеет-таки смысл: это случайная величина, принимающая значение вероятности того исхода, который выпал.

Весьма сомнительно. Не пишут так.

Dims в сообщении #349468 писал(а):

-- Сб сен 04, 2010 09:01:55 --

Вопрос про X(w) остаётся -- это способ обозначить, что X является случайной величиной на множестве w?

Это способ подчеркнуть, что $X$ - это функция на пространстве исходов.