Арифметическая и геометрическая прогрессии

[Busy_Beaver]

Вот задачка со Всеукраинской олимпиады школьников. 1982, Николаев.

Существуют ли арифметическая $a_1, a_2, \dots, a_{1982}$ и геометрическая $b_1, b_2, \dots, b_{1982}$ прогресии, для которых выполняются неравенства $a_1 < b_1 < a_2 < b_2 < \dots < a_{1982} < b_{1982}$ ?

Сердцем чую, что ответ положительный. Идея доказательства такова: надо взять геометрическую прогрессию, которая ведёт себя почти как арифметическая, то есть с очень большим первым членом и очень маленьким знаменателем. Например, взять число миллиард и прибавлять каждый раз одну миллиардную от предыдущего числа.
Полагаю, что в такую геометрическую прогрессию можно "втиснуть" арифметическую той длины, что требуется в условии. Но вот имею проблему с формулировкой доказательства.
Подскажите, пожалуйста!
Заранее благодарен.

Тему верныл.

Подсказка по ТеХу: если индекс состоит из нескольких символов, лучше писать так:

$a_{1982}$

Обратите внимание на фигурные скобки. Многоточия набираются так:

$\ldots$, $\cdots$, $\dots$

В последнем случае ТеХ сам угадывает, как ему оформить многоточие -- по центру формулы или внизу (если Вы наведете мышку на формулы, то увидите, что всюду у меня написано именно так, но последнее многоточие по центру).
zhoraster

[gris]

Только первым членом взять надо не миллиард, а миллиард и одну миллиардную, иначе не получится строгого неравенства.
А доказать надо, что в геометрической прогрессии разность между соседними членами на рассматриваемом интервале больше единицы, но меньше ??? . Достаточно это показать для 1981 и 1982 члена.
Тогда нужная арифметическая прогрессия будет состоять из последовательных натуральных чисел.

[Busy_Beaver]

gris в сообщении #349754 писал(а):

Только первым членом взять надо не миллиард, а миллиард и одну миллиардную, иначе не получится строгого неравенства.

А почему, собственно? Ведь в условии задачи не сказано, что арифметическая прогрессия обязана не содержать числа, не являющиеся натуральными.

[Хорхе]

gris в сообщении #349754 писал(а):

А доказать надо, что в геометрической прогрессии разность между соседними членами на рассматриваемом интервале больше единицы, но меньше ??? . Достаточно это показать для 1981 и 1982 члена.
Тогда нужная арифметическая прогрессия будет состоять из последовательных натуральных чисел.

Первого явно недостаточно для второго (ага, вижу, что Вы сами уже засомневались).

-- Вс сен 05, 2010 11:07:30 --

На самом деле нам достаточно такое: для некоторого $d$ при всех $n\le 2010$ (будем современными, что ли) $1+nd< (1+d)^n<1+(n+1)d$ Первое легко, это попросту неравенство Бернулли. Второе будет правильно для всех $n\le 2010$, если $(1+d)^{2010}<1+ 2011d$. Такое $d$ уже легко выбрать.

[gris]

Я не засомневался. Просто не смог быстро придумать, как выразить словами, что не больше двух должна быть "накопившааяся разность"
Busy_Beaver,это не обязательно, разумеется. Просто Ваш пример вполне подходит, чего же его не использовать?

[Хорхе]

(спойлер)

Например, $d=2^{-2010}$, очевидно, подойдет.

[Busy_Beaver]

Цитата:

Первое легко, это попросту неравенство Бернулли.

А можно спросить, что сие есть "неравенство Бернулли", или меня заблокируют за сей имбецильный вопрос?

[Sasha2]

Ну ведь все члены арифметической прогрессии ложатся на прямую, а все члены геометрической прогрессии на экспоненту.
Интересно, как же провести прямую так, чтобы она пересекла экспоненту более ну скажем хотя бы 3 раз. А в этой задаче 1982 преполагает явно большее число пересечений.

[gris]

Можно и через Бином Ньютона:
$(1+d)^n=1+nd+C^2_nd^2+\cdots>1+nd$

Проверка в Excel показала, что для 2010 подходит 100000 и 0.00001!

[Хорхе]

Busy_Beaver в сообщении #349762 писал(а):

Цитата:

Первое легко, это попросту неравенство Бернулли.

А можно спросить, что сие есть "неравенство Бернулли", или меня заблокируют за сей имбецильный вопрос?

Вопрос нормальный. А вот игнорирование Гугла -- это да, слегка имбецильно, как Вы изволили выразиться.

[Busy_Beaver]

Sasha2 в сообщении #349763 писал(а):

Ну ведь все члены арифметической прогрессии ложатся на прямую, а все члены геометрической прогрессии на экспоненту.
Интересно, как же провести прямую так, чтобы она пересекла экспоненту более ну скажем хотя бы 3 раз. А в этой задаче 1982 преполагает явно большее число пересечений.

Графики данных функций могут вообще не пересекаться. Например: 1, 2, 4, 8 и 0, 1.5, 3, 4.5.
Тем не менее 0<1<1.5<2<3<4<4.5<8. Парадокс

[Sasha2]

Нет так не может быть (в данном конкретном случае). Экспоненты выпуклая функция и от этого надо и отталкиваться.
Если две точки прямой лежат под экспонентой, то и вся прямая лежит под ней, вот и все.

[Хорхе]

gris в сообщении #349764 писал(а):

Можно и через Бином Ньютона:
$(1+d)^n=1+nd+C^2_nd^2+\cdots>1+nd$

Я им и пользовался, только в другую сторону. Это не экономно, но методически архиправильно использовать много разных методов :)

Кстати, мы умеем решать квадратные неравенства, так что мою предыдущую оценку можно существенно (на несколько сотен порядков) улучшить:

$$ d=2^{-2011}(- 2009\cdot 1005 + \sqrt{(2009\cdot 1005)^2 + 2^{2012}}). $$

(Оффтоп)

Конечно, предыдущее решение проще. Но методически это куда ценнее, ведь мы еще и квадратное уравнение решили, и оценку улучшили... Что бы еще методически ценного сюда добавить? (Только не надо мне про формулу Кардано )

Вообще хорошая штука, как она мне только сейчас в голову пришла? Надо написать учебник, где все будет доказываться очень не экономно, с использованием нескольких методов. Обходными путями. Вообще в блоге Теренса Тао был замечательный пост о том, как заниматься математикой. Надо ставить перед собой препятствия. Доказать что-нибудь, не пользуясь методом $X$. Или еще более усложнить задачу: доказать что-то, пользуясь методом $Y$ и только им.

Ну все, пошел писАть.

[Busy_Beaver]

Sasha2 в сообщении #349770 писал(а):

Нет так не может быть (в данном конкретном случае). Экспоненты выпуклая функция и от этого надо и отталкиваться.
Если две точки прямой лежат под экспонентой, то и вся прямая лежит под ней, вот и все.

И как же Вы объясните положительный ответ на задачу? И вообще, ма акешер пересечения?

[Sasha2]

А я считаю, что ответ отрицательный, а вот Вашего примера я тоже не понял, так как надо указывать ведь не только значения функции, но и аргументы, на которых эти значения принимаются.