Построение ряда Штурма для многочлена

[The DEADman]

Здравствуйте!

Имеется многочлен с действительными коэффициентами.

$$f(x) = a_nx^n + \dots + a_0, \quad n\geq3$$

Пользуясь Википедией (Теорема_Штурма) Строю ряд Штурма таким образом:

$$f_0(x) = \frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}$$

Он не содержит кратных корней исходного многочлена.

$$f_1(x) = f_0^'(x)$$$$f_{k+1}(x) = -f_k(x)\mod f_{k-1}(x), \quad \textrm{если $f_k$ имеет корни.}$$

Вопрос по последнему равенству.
$f_k$ должен иметь вещественные корни или в т.ч. комплексные?

Если да, то: на степени 2 я должен проверять $D(f_k)$, и, если он отрицателен, останавливать построение ряда?

[Null]

Остановку можно производить если очередной многочлен не меняет знак на интервале на котором считается количество корней. Это равносильно тому что у него нет действительных корней на этом интервале.

[The DEADman]

А если интервал заранее неизвестен? (гипотетически).

[Null]

Если интервал неизвестен, то он по умолчанию полагается $(-\infty; +\infty)$

[alekcey]

The DEADman в сообщении #349165 писал(а):

А если интервал заранее неизвестен? (гипотетически).

Поскольку всегда известна оценка радиуса области всех корней, то этот радиус, как максимум, всегда можно приспособить для определения интервала. Но применение самой теоремы Штурма для подсчёта корней как-то уж больно громоздко, несовременно, да и вообще… Есть в наше время много более простые способы одновременного вычисления корней и подсчёта их количества, особенно, если они вещественные…

[Null]

Можете названия сказать?

[The DEADman]

Дело не в современности или несовременности, эффективность мне не столь важна; в вопросе хочется разобраться.

Большое спасибо за Ваш критерий остановки построения ряда. Таким образом, я получаю ответ на свой первоначальный вопрос: если на всем $(-\infty; +\infty)$ квадратный трехчлен имеет $D<0$, то он не не меняет знака ни при каких условиях и, соответственно, дальнейшее продолжение ряда Штурма бессмысленно.

Про вышеупомянутые высокоэффективные методы краем уха тоже хотелось бы услышать.

Обсуждение предлагаемого участником alekcey способа одновременного вычисления корней и подсчёта их количества выделено в самостоятельную тему в разделе «Дискуссионные темы (М)».

[Null]

Кто-нибудь знает насколько точно можно посчитать систему Штурма на компьютере?