Требуется доказать, что кольцо
![$\mathbb{Z}[i] = \{ a + bi : a,b, \in \mathbb{Z} \}$ $\mathbb{Z}[i] = \{ a + bi : a,b, \in \mathbb{Z} \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/c/06c26f16fd7dd56039d81175ecfc725682.png)
является кольцом главных идеалов.
Доказательство я, конечно, родил...
(Доказательство)
Пусть

--- ненулевой идеал в
![$\mathbb{Z}[i]$ $\mathbb{Z}[i]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/d/cfdbf030ab897d91a568831f9b30af4f82.png)
и

--- ненулевой элемент из идеала с наименьшим возможным модулем. Покажем, что

порождает

.
Пусть

--- произвольный элемент идеала. Построим последовательность

элементов

, такую что

. Полагаем

. Пусть

построено и не равно

. Из равенства

, наглядных геометрических соображений и теоремы косинусов заключаем, что найдётся

, такое что

. Полагаем

.
Так как при каждой итерации квадрат модуля очередного икса уменьшается не менее чем на

, то для некоторого натурального

равенство

неизбежно выполнится. Но тогда имеем

и

, что и требовалось доказать.
Но какое-то оно корявое. Не могу сказать, что конкретно плохо, но мне оно не нравится. Может, кто-то знает что-нибудь более изящное?