Кольцо гауссовых целых, главные идеалы

[Профессор Снэйп]

Требуется доказать, что кольцо $\mathbb{Z}[i] = \{ a + bi : a,b, \in \mathbb{Z} \}$ является кольцом главных идеалов.

Доказательство я, конечно, родил...

(Доказательство)

Пусть $I$ --- ненулевой идеал в $\mathbb{Z}[i]$ и $y \in I$ --- ненулевой элемент из идеала с наименьшим возможным модулем. Покажем, что $y$ порождает $I$.

Пусть $x \in I$ --- произвольный элемент идеала. Построим последовательность $x_0, \ldots, x_n$ элементов $I$, такую что $x_n = 0$. Полагаем $x_0 = x$. Пусть $x_i$ построено и не равно $0$. Из равенства $|x_i| \geqslant |y|$, наглядных геометрических соображений и теоремы косинусов заключаем, что найдётся $a_{i+1} \in \{ \pm 1, \pm i \}$, такое что $|x_i - a_{i+1}y|^2 \leqslant |x_i|^2 - (\sqrt{2}-1)|y|^2$. Полагаем $x_{i+1} = x_i - a_{i+1}y$.

Так как при каждой итерации квадрат модуля очередного икса уменьшается не менее чем на $(\sqrt{2}-1)|y|^2$, то для некоторого натурального $n \leqslant (\sqrt{2}+1)|x|^2/|y|^2$ равенство $x_n = 0$ неизбежно выполнится. Но тогда имеем $x = (a_1 + \ldots + a_n)y$ и $x \in (y)$, что и требовалось доказать.

Но какое-то оно корявое. Не могу сказать, что конкретно плохо, но мне оно не нравится. Может, кто-то знает что-нибудь более изящное?

[Dandan]

Это кольцо евклидово, а все евклидовы кольца - кольца главных идеалов.
Конкретно - поделите произвольный $x \in I$ на ваш минимальный $y$ с остатком. Если остаток ненулевой, то у него норма меньше нормы $y$, но при этом он принадлежит $I$

[Профессор Снэйп]

А что там за деление с остатком такое? И почему $\mathbb{Z}[i]$ евклидово?

-- Ср сен 01, 2010 02:46:09 --

Если Вы меряете остаток по норме, то в доказательстве евклидовости и состоит, в общем-то, главная сложность!

[mihailm]

Доказательство этого было в древнем Кванте
Первые попавшиеся книги с данным результатом
Айерлэнд К., Роузен М. - Классическое введение в современную теорию чисел, гл 1 параграф 4
Кострикин А.И., Введение в алгебру. Ч.3. Основные структуры, гл 4 параграф 2
обе понятно в сети

[Dandan]

евклидовость можно доказать чуть проще, чем у вас. Просто все числа $\{uy|u \in \mathbb Z[i]\}$ находятся в узлах квадратной решетки со стороной $|y|$

[Профессор Снэйп]

Да, ну это по сути то же самое. Меня интересовала какая-нибудь хитрая формула, которая бы сразу без индукции давала "координаты" квадрата в решётке со стороной $|y|$, в которой расположен $x$. Точнее, пара арифметических формул $f(x_1, x_2, y_1, y_2)$ и $g(x_1, x_2, y_1, y_2)$, для которых при $y = y_1 + y_2i$ и $x = x_1 + x_2 i$ было бы $| x - (f + gi)y| < |y|$.

[Null]

Если $\frac{x}{y}=a+ib$, то $f=[a]$,$g=[b]$ подходит, где []- взятие ближайшего целого.

[Профессор Снэйп]

Да ну это всё понятно! Хочется чего-нибудь изящного, и чтоб доказывалось изящно. Может, RIP зайдёт в ближайшее время, у него точно получится?