Матричное уравнение.

[sng1]

Как относительно $X$ решить уравнение
$X*X-A*X-A*B*A=0$, где $A$ - симметричная (0,1) матрица размера $n \times n$ с различными ненулевыми собственными значениями, $B$ - матрица у которой первые $k$ чисел на главной диагонали 1, остальные элементы 0.

[paha]

что такое

sng1 в сообщении #348513 писал(а):

(0,1) матрица

?

[Sonic86]

(0,1)-матрица - это матрица из нулей и единиц.

-- Вт авг 31, 2010 12:19:30 --

sgn1. Почему бы не решить как квадратное уравнение (не забывая о некоммутативности матриц) - дело свелось бы к извлечению квадратного корня из матрицы

[ИСН]

А как Вы выделите полный квадрат, не забывая о некоммутативности матриц?

[nestoklon]

sng1 в сообщении #348513 писал(а):

Как относительно $X$ решить уравнение

Неколько проще чем разбираться с корнем от матрицы решать это уравнение в базисе, в котором $A$ диагональна. Раз она симметричная, то такой базис существует.
Расписать поподробнее или дальше сами справитесь?

[sng1]

Составим матрицу $T$ из собственных векторов матрицы $A$. Матрица $T$ ортогональная $E=T*T'$ и симметричная $T=T'$. Выберем базис из собственных векторов матрицы $A$. В этом базисе матрица $A$ будет иметь диагональный вид $D = T*A*T$, матрица $X$ будет иметь вид $Y = T*X*T$, матрица $B$ будет иметь вид $ T*B*T$. Если исходное уравнение в новом базисе справедливо (в чем я пока не уверен), то оно примет вид $Y*Y - D*Y - D*T*B*T*D= 0$. А что делать дальше?

[nestoklon]

sng1 в сообщении #348624 писал(а):

уравнение в новом базисе справедливо (в чем я пока не уверен)

Переход к новому базису удобнее делать формально, умножая уравнение слева и справа на матрицу $T$ и $T^T$ (или наоборот, лень думать) и добавив куда надо $T\cdot T^T=1$ между матрицами. Так вы будете уверены, что уравнение в новом базисе справедливо.

sng1 в сообщении #348624 писал(а):

А что делать дальше?

Дальше вы получаете уравнение, в котором все матрицы диагональны, то есть систему независимых квадратных уравнений.

[sng1]

Умножая уравнение слева и справа на матрицу $T$, получим такое же уравнение $Y*Y - D*Y - D*T*B*T*D= 0$. Но матрица $D*T*B*T*D= 0$ не диагональна.

[nestoklon]

sng1 в сообщении #348643 писал(а):

Но матрица $D*T*B*T*D= 0$ не диагональна.

Во-первых, разберитесь с транспонированием. Потом можем обсудить её диагональность. Возможно, я ошибаюсь и она не обязательно диагональна и надо ещё что-то сделать. Сейчас у меня нет времени это аккуратно проверять.

[sng1]

Здесь я полагаю, что $T = T^T$.

-- Вт авг 31, 2010 16:29:44 --

То, что не диагональная проверял в Matlab.

Если не предполагать $T = T^T$, получаем $Y*Y - D*Y - D*T^T*B*T*D= 0$.
Проверка в Matlab показывает, что $D*T^T*B*T*D= 0$ не диагональна, но оказалась симметричной.

[sng1]

Здесь $Y=T^T*X*T, \quad D=T^T*X*T $.

[nestoklon]

sng1 в сообщении #348645 писал(а):

Проверка в Matlab показывает, что $D*T^T*B*T*D= 0$ не диагональна, но оказалась симметричной.

Хм... Странно... Что должна получаться диагональная матрица доказывается в две строчки. А симметрична эта конструкция будет вообще с любой симметричной $B$.
У вас матрица $T$ часом не имеет комплексных элементов? Тогда надо не транспонированную брать, а эрмитово сопряжённую. Вы просто там выше написали про её ортогональность -- проверяли?

[sng1]

$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\; B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), \; T=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right),\; T^T*B*T=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$

[nestoklon]

Да, круто я облажался. Надо было всё же аккуратно проверить.

[sng1]

Может хотя бы известно условие существования решения? А так же может в каких-то случаях можно получить частное решение?