Существует известный парадокс под названием «задача о двух конвертах». Про него можно почитать в
Википедии.
Смысл такой: Игроку предлагаются два конверта, в которых находятся две суммы денег, причём в одном из конвертов сумма отличается от суммы в другом конверте ровно в два раза. Можно открыть один любой конверт и посчитать в нём деньги, после чего сделать выбор — взять этот конверт или взять другой конверт.
Предположим, что мы увидели в одном из конвертов x рублей. Тогда в другом может быть 0,5x или 2x руб. Таким образом, считая что в другом конверте равновероятно находится либо 0,5x, либо 2x, определяем средний выигрыш в случае, если мы возьмём другой конверт: (0,5x+2x)/2=1,25x рублей (соответственно, разумнее выбирать именно его, хотя мы и не знаем, больше там денег или меньше), что противоречит интуитивной симметрии задачи.
Как написано в Википедии, решение парадокса заключается в том, что после открытия 1-го конверта вероятность найти во 2-м конверте вдвое большую сумму вовсе не обязана быть 50%, она зависит от распределения вероятностей вкладываемых в конверты сумм.
=====>
Теперь мы сделаем такую модификацию этой задачи, которая вернёт нам парадокс. Мы зададим распределение!
Теперь «ведущий» вкладывает деньги в конверты не абы как, а в соответствии со следующими вероятностями (с точностью до порядка конвертов):
50% → 100 руб. + 200 руб.
25% → 200 руб. + 400 руб.
12.5% → 400 руб. + 800 руб.
6.25% → 800 руб. + 1600 руб.
То есть при увеличении суммы, вкладываемой в «меньший» конверт, вдвое, вероятность этого варианта уменьшается вдвое. Сумма вероятностей всех вариантов равна 100%, так что это вполне легальное распределение (собственно, это геометрическое распределение).
Игроку распределение известно.
Вот мы открыли 1-й конверт. Если мы увидели там 100 рублей, тогда во 2-м конверте заведомо 200 рублей, и обмен выгоден.
Если же в 1-м конверте мы увидели 200 рублей или больше, то тогда вероятность уполовинить сумму при обмене равна 2/3, а вероятность удвоить равна 1/3, так что в среднем при обмене мы ничего не теряем и ничего не приобретаем.
Тогда ясно, что можно просто всегда менять конверты. С вероятностью 1/4 мы будем находить в 1-м конверте 100 рублей и менять их на 200, а в остальных 3/4 случаев мы будем (в среднем) оставаться при своих. Следовательно, всегда обменивая конверты, мы будем дополнительно получать в среднем 25 рублей за игру.
Но тогда мы можем вообще не открывать конверты, а просто ткнуть пальцем в любой конверт и сказать «это первый конверт». Тогда в другом будет в среднем на 25 рублей больше. Но можем считать «первым» и другой конверт, тогда всё будет наоборот. Парадокс!