Задача о двух конвертах с геометрическим распределением

[Andrey Lukyanov]

Существует известный парадокс под названием «задача о двух конвертах». Про него можно почитать в Википедии.

Смысл такой: Игроку предлагаются два конверта, в которых находятся две суммы денег, причём в одном из конвертов сумма отличается от суммы в другом конверте ровно в два раза. Можно открыть один любой конверт и посчитать в нём деньги, после чего сделать выбор — взять этот конверт или взять другой конверт.

Предположим, что мы увидели в одном из конвертов x рублей. Тогда в другом может быть 0,5x или 2x руб. Таким образом, считая что в другом конверте равновероятно находится либо 0,5x, либо 2x, определяем средний выигрыш в случае, если мы возьмём другой конверт: (0,5x+2x)/2=1,25x рублей (соответственно, разумнее выбирать именно его, хотя мы и не знаем, больше там денег или меньше), что противоречит интуитивной симметрии задачи.

Как написано в Википедии, решение парадокса заключается в том, что после открытия 1-го конверта вероятность найти во 2-м конверте вдвое большую сумму вовсе не обязана быть 50%, она зависит от распределения вероятностей вкладываемых в конверты сумм.

=====>

Теперь мы сделаем такую модификацию этой задачи, которая вернёт нам парадокс. Мы зададим распределение!

Теперь «ведущий» вкладывает деньги в конверты не абы как, а в соответствии со следующими вероятностями (с точностью до порядка конвертов):

50% → 100 руб. + 200 руб.

25% → 200 руб. + 400 руб.

12.5% → 400 руб. + 800 руб.

6.25% → 800 руб. + 1600 руб.

и т. д.

То есть при увеличении суммы, вкладываемой в «меньший» конверт, вдвое, вероятность этого варианта уменьшается вдвое. Сумма вероятностей всех вариантов равна 100%, так что это вполне легальное распределение (собственно, это геометрическое распределение).

Игроку распределение известно.

Вот мы открыли 1-й конверт. Если мы увидели там 100 рублей, тогда во 2-м конверте заведомо 200 рублей, и обмен выгоден.

Если же в 1-м конверте мы увидели 200 рублей или больше, то тогда вероятность уполовинить сумму при обмене равна 2/3, а вероятность удвоить равна 1/3, так что в среднем при обмене мы ничего не теряем и ничего не приобретаем.

Тогда ясно, что можно просто всегда менять конверты. С вероятностью 1/4 мы будем находить в 1-м конверте 100 рублей и менять их на 200, а в остальных 3/4 случаев мы будем (в среднем) оставаться при своих. Следовательно, всегда обменивая конверты, мы будем дополнительно получать в среднем 25 рублей за игру.

Но тогда мы можем вообще не открывать конверты, а просто ткнуть пальцем в любой конверт и сказать «это первый конверт». Тогда в другом будет в среднем на 25 рублей больше. Но можем считать «первым» и другой конверт, тогда всё будет наоборот. Парадокс!

[lel0lel]

Вероятность конверта с сотней $\frac{1}{4}$, а с тысячей шестисот $\frac{6,25}{200}$. Поэтому, если не глядя менять, то на то и выйдет.

[Andrey Lukyanov]

2 lel0lel: Читайте внимательнее условие.

[Лукомор]

lel0lel в сообщении #348197 писал(а):

Но можем считать «первым» и другой конверт, тогда всё будет наоборот. Парадокс!

А в чём парадокс-то? Всего на кону 2,5х денег.
Ожидается, что игрок, взявший первый попавшийся конверт получит 1,25х денег (то есть 50% от 2,5х), а игрок поменявший конверт на второй также получит 1, 25х денег (вторые 50% от 2.5х).
А парадоксы - они в голове.

[Andrey Lukyanov]

Лукомор в сообщении #348420 писал(а):

А в чём парадокс-то? Всего на кону 2,5х денег.
Ожидается, что игрок, взявший первый попавшийся конверт получит 1,25х денег (то есть 50% от 2,5х), а игрок поменявший конверт на второй также получит 1, 25х денег (вторые 50% от 2.5х).
А парадоксы - они в голове.

Это только до открытия 1-го конверта всё симметрично. А как только мы посчитали деньги в 1-м конверте, вероятности меняются (есть такая вещь, как условные вероятности).

Надеюсь, Вы не станете отрицать, что если мы увидели в 1-м конверте 100 руб., то в другом заведомо 200 руб., и поменять конверты очень даже выгодно?

[lel0lel]

Лукомор, я не утверждал, что здесь есть парадокс. Наверное это ссылка неправильно встала.

Andrey Lukyanov в сообщении #348436 писал(а):

Надеюсь, Вы не станете отрицать, что если мы увидели в 1-м конверте 100 руб., то в другом заведомо 200 руб., и поменять конверты очень даже выгодно?

И вы, я надеюсь, не станете утверждать, что конверт с 1600 менять выгодно.

[venco]

Andrey Lukyanov в сообщении #348436 писал(а):

Это только до открытия 1-го конверта всё симметрично. А как только мы посчитали деньги в 1-м конверте, вероятности меняются (есть такая вещь, как условные вероятности).

Надеюсь, Вы не станете отрицать, что если мы увидели в 1-м конверте 100 руб., то в другом заведомо 200 руб., и поменять конверты очень даже выгодно?

Естественно, если принимать решение в зависимости от содержимого первого конверта, то выигрыш может измениться, и в этом нет парадокса.
Но Вы ведь увидели "парадокс" в обмене не глядя. Или я не так Вас понял?

[Andrey Lukyanov]

lel0lel в сообщении #348439 писал(а):

И вы, я надеюсь, не станете утверждать, что конверт с 1600 менять выгодно.

Менять конверт с 1600 без разницы (с вероятностью 2/3 в другом 800, а с вероятностью 1/3 там 3200).

В этом вся суть. Если в первом конверте 100, то поменять выгодно. Если там не 100, то без разницы — менять или не менять. Значит, можно тупо менять во всех случаях, и получать дополнительные деньги.

Собственно, в «задаче о двух конвертах» знание распределения всегда позволяет получать дополнительные деньги за счёт выборочного обмена конвертов. Но парадокс возникает только тогда, когда оказывается выгодно менять конверт во всех случаях.

-- Пн авг 30, 2010 17:41:09 --

venco в сообщении #348442 писал(а):

Естественно, если принимать решение в зависимости от содержимого первого конверта, то выигрыш может измениться, и в этом нет парадокса.
Но Вы ведь увидели "парадокс" в обмене не глядя. Или я не так Вас понял?

Да, выигрыш изменяется, если мы принимаем решение в зависимости от содержимого конверта. Вся суть в том, что, изучив содержимое 1-го конверта, игрок приходит к выводу, что ему можно менять конверт в любом случае, и это будет выгодно. То есть — можно даже и не открывать конверт, поскольку заранее ясно, что конверт надо менять.

Но! Пока оба конверта закрыты, они симметричны — ни один из них не хуже и не лучше другого.

В этом-то и парадокс.

[lel0lel]

Вам потребуется бесконечное число конвертов и денег соответственно, а иначе найдётся пара конвертов, которая будет последней.

[Andrey Lukyanov]

lel0lel в сообщении #348452 писал(а):

Вам потребуется бесконечное число конвертов и денег соответственно, а иначе найдётся пара конвертов, которая будет последней.

Необязательно использовать настоящие деньги и конверты, можно всё в компьютере симулировать.

[lel0lel]

Посчитаем следующим образом: вероятность вытянуть конверт из самой дешёвой серии $1\over 2$, вероятность сотни в этом конверте $1\over 4$, поменяв его, имеем выигрыш: $100\over 4$. Аналогично проигрыш на конверте с 200 рублями из этой серии $-100\over 4$. Математическое ожидание или средний выигрыш по всем сериям при такой стратегии: $E={100\over 4}-{100\over4}+{200\over 8}-{200\over 8}+...$. Видно, что если суммировать нечётное число членов, что Вы фактически и сделали, то выигрыш составит 25 руб.

[Andrey Lukyanov]

lel0lel в сообщении #348463 писал(а):

Посчитаем следующим образом: вероятность вытянуть конверт из самой дешёвой серии $1\over 2$, вероятность сотни в этом конверте $1\over 4$, поменяв его, имеем выигрыш: $100\over 4$. Аналогично проигрыш на конверте с 200 рублями из этой серии $-100\over 4$. Математическое ожидание или средний выигрыш по всем сериям при такой стратегии: $E={100\over 4}-{100\over4}+{200\over 8}-{200\over 8}+...$. Видно, что если суммировать нечётное число членов, что Вы фактически и сделали, то выигрыш составит 25 руб.

И как это влияет на выбор игрока?

==================>

Я предлагаю такое решение парадокса:

1) Матожидание при таком распределении бесконечно.

2) Дополнительный выигрыш в 25 рублей на игру при обмене конвертов является вероятностным и в полной мере реализуется только в бесконечной последовательности игр, где он совершенно не заметен на фоне бесконечно растущих средних сумм.

3) В любой конечной последовательности игр реально полученное (а не теоретическое) распределение является обычным распределением на конечном множестве, при котором тупой обмен конвертов в среднем не даёт никакого выигрыша.

4) Реальный выигрыш в конечной последовательности игр можно получить, меняя только конверты со 100 рублями и не меняя остальные конверты (то есть надо отказаться от слепого обмена конвертов, который и даёт парадокс).

[Andrey Lukyanov]

Andrey Lukyanov в сообщении #348490 писал(а):

3) В любой конечной последовательности игр реально полученное (а не теоретическое) распределение является обычным распределением на конечном множестве, при котором тупой обмен конвертов в среднем не даёт никакого выигрыша.

Может быть, лучше сказать так: в любой конечной последовательности игр среднее значение выпавших сумм всегда меньше матожидания (которое у нас бесконечно), в результате чего происходит некоторое искажение вероятности.

[Лукомор]

Andrey Lukyanov в сообщении #348490 писал(а):

4) Реальный выигрыш в конечной последовательности игр можно получить, меняя только конверты со 100 рублями и не меняя остальные конверты (то есть надо отказаться от слепого обмена конвертов, который и даёт парадокс).

И однажды, получив вместо 100 рублей - 50 сильно удивиться...

[Andrey Lukyanov]

Лукомор в сообщении #348585 писал(а):

И однажды, получив вместо 100 рублей - 50 сильно удивиться...

Не пишите ерунду. Такого варианта в условии нет.

=============>

Попробую ещё сформулировать свои соображения в таком виде:

При «обычных» распределениях среднее значение в конечной серии игр может быть как больше, так и меньше матожидания. У нас же среднее значение в конечной серии игр всегда меньше матожидания. За счёт этого и происходит «искажение» вероятности.

Т. е. конверт со 100 рублями по-прежнему выгодно обменять, но вот обмен прочих конвертов перестаёт быть нейтральным — он становится в среднем невыгодным, и компенсирует все доходы от конвертов со 100 рублями.

Дополнительный доход в 25 рублей за игру можно получить только в бесконечной серии игр. Но там средний доход бесконечный, а бесконечность плюс 25 — это та же самая бесконечность. Т. е. выгода, в общем, фиктивная.