|
Уважаемые господа!
Я пытался оживить эту старую тему на другой ветке форума, но, как я и ожидал, модератор тему оттуда удалил, сделав мне разъяснение, что за мной остается право дискутировать (обоснованным образом) здесь, на прежней ветке, где законное место этой темы. А здесь я был счастлив увидеть, что эту тему уже оживил заслуженный участник ewert.
Предлагаю общему вниманию свое решение задачи (только логику, без вычислений), которое модератор тоже забраковал. Аргументацию модератора по существу вопроса полностью привожу ниже. Приношу всем извинения за смену терминологии - далее секундная стрелка именуется Ахиллесом, а минутная и часовая соответственно быстрой и медленной черепахами - при этом цифры остаются прежние, мы считаем, что Ахиллес пробегает 1440 кругов в сутки по беговой дорожке стадиона, быстрая черепаха бежит в 60 раз медленнее, а медленная еще в 12 раз медленнее. Смена имен была сделана не ради экстравагантности, модель с бегунами помогает понять, что нет разницы между круглым и эллиптическим треками, форма несущественна, и это по-новому освещает некоторые тригонометрические соображения, высказанные ранее относительно часового циферблата.
Буду очень, очень признателен всем, кто найдет в моих рассуждениях логические изъяны. Пока никто не заставил меня усомниться в том, что когда Ахиллес обгоняет черепаху, он находится весьма близко от нее.
Логика решения такая.
Для начала мы считаем, сколько кругов за сутки набегал Ахиллес, сколько кругов быстрая черепаха, сколько медленная черепаха - эти количества различаются по условию задачи. Затем считаем, сколько раз Ахиллес обогнал одну черепаху, сколько раз другую. В молодости я бы сам живо сосчитал это на логарифмической линейке, но линейку у меня еще в те времена украли знакомые, и с тех пор я ничего не могу сосчитать в точности, однако высказываю предположение, которое легко проверить - количество обгонов окажется РАЗНЫМ, - и это даже не зависит от начального положения участников гонки, если разница в скоростях достаточно велика.
На этом первый этап вычислений кончается, начинается чистая логика. Замечаем, что в случаях, когда Ахиллес обгоняет одну из черепах, он пробегает мимо нее и оказывается таким образом от нее ДОВОЛЬНО БЛИЗКО. Можно даже сказать, что оказывается с ней в одной точке окружности, но точка нас не устроит, потому что точку он проходит мгновенно, а чтобы получить какое-то положительное и отличное от нуля время, мы окрестность этой точки немножко растягиваем - условимся считать только то время, когда расстояние между Ахиллесом и черепахой не превышает, скажем, шести градусов дуги в одну сторону и шести градусов в другую сторону. В этих случаях мы и будем говорить, что Ахиллес находится довольно близко от черепахи. Так вот, если количество обгонов различно, оказывается, что Ахиллес ЧАЩЕ находился поблизости (в указанном значении) от медленной черепахи и провел в этих ее близких окрестностях БОЛЬШЕ ВРЕМЕНИ, чем в таких же близких окрестностях быстрой черепахи. Не меняют этого соотношения даже случаи, когда заданная нами окрестность медленной черепахи пересекалась с окрестностью быстрой черепахи. Однако надо принимать в расчет, что окрестность быстрой черепахи, те же двенадцать градусов дуги, Ахиллес преодолевал медленнее - быструю черепаху он дольше догоняет и дольше от нее отрывается. Снова прошу у всех прощения, не могу в точности сосчитать без линейки, но утверждаю категорически, что и с этой поправкой Ахиллес проводит больше времени неподалеку от медленной черепахи.
Третий этап: мы эту самую близкую окрестность, заданную совершенно произвольно, начинаем осторожно, понемногу расширять. От шести градусов в каждую сторону до семи, восьми, десяти... Вот тут самое сложное место в рассуждениях, нужен переход по индукции, а он совсем не очевиден, это, вообще говоря, требует довольно строгих обоснований, что если Ахиллес проводил больше времени в самой близкой окрестности медленной черепахи, то он проводил больше времени и в ее несколько более отдаленной окрестности. И что он вообще чаще оказывался ближе к этой черепахе, чем к другой, - с вероятностью большей, чем 1/2.
Полагаю, что ненамного большей, но все-таки большей. Не сочту для себя обидным, если кто-то сумеет это опровергнуть более основательными логическими соображениями.
С уважением ко всем, Лев Магазаник
Возражения модератора Zhoraster
Уважаемый Лев Магазаник!
Ничего нового Вы не сообщили. Ваше "доказательство", будь оно правильным, проходило бы и в случае соотношения скоростей 1:3:6, но в таком случае вероятность равна одной второй. Я Вам больше скажу: в случае соотношения скоростей 1:60:720 ответ действительно зависит от первоначального расположения бегунов. Дело в том, что если начальные позиции бегунов выбирать случайно, то искомая вероятность будет 1/2, поэтому в силу формулы полной вероятности невозможно, чтобы при любом начальном расположении бегунов она была больше 1/2, а Вы доказываете именно это.
|
для электронных часов
. Т.е. слипания стрелок на ответ всё же не влияют. Во всяком случае, здесь. А вот следует ли это из каких-то глубоких соображений -- сообразить не могу.
долю круга, которую составляет расстояние между Ахиллесом и черепахой в момент попадания (ухода) первого в (из) окрестность(-и) второй; 
- скорость Ахиллеса, 
- скорость черепахи (скорости будем измерять в количестве кругов, нарезаемых "спортсменом" в единицу времени). Тогда 
- время нахождения Ахиллеса в 
- время между двумя последовательными "встречами". Отсюда 
- доля времени Ахиллеса, уделяемая черепахе. Как видим, эта доля не зависит от скорости черепахи, т.е. Ахиллес одинаково галантен с обоими неторопливыми дамами.