Ряд из кубов

[C0rWin]

Если \sum {a_n } сходится то и ряд \sum {a_n }^3 тоже сходится.

[Brukvalub]

C0rWin писал(а):

Если \sum {a_n } сходиться то и ряд \sum {a_n }^3 тоже сходится.

Это неверно- вот контрпример: $\sum {\frac{{\cos (\frac{2}{3}\pi n)}}{{\ln (e + n)}}} $

[C0rWin]

Если я ничего не напутал, то приведенный вами пример рассходится. А нужно, чтобы сходился, а в третий степени рассходился, если конечно мы опровергаем.

[незваный гость]

Рассмотрите последовательность, устроенную примерно так:
для каждого $k$ идет $k$ членов $k^{-4/3}$, за которыми следует член $-k^{-1/3}$:
$1, -1, 2^{-4/3}, 2^{-4/3},-2^{-1/3}, 3^{-4/3}, 3^{-4/3}, 3^{-4/3}, -3^{-1/3},…$
После возведения в куб ряд положительных слагаемых сойдется, а ряд отрицательных разойдется, т.е. ряд станет расходящимся.

[Brukvalub]

C0rWin писал(а):

Если я ничего не напутал, то приведенный вами пример рассходится. А нужно, чтобы сходился, а в третий степени рассходился, если конечно мы опровергаем.

Вы напутали - выписанный мной ряд $\sum {\frac{{\cos (\frac{2}{3}\pi n)}}{{\ln (e + n)}}} $ сходится по признаку Дирихле.

[незваный гость]

Хитро! и красиво! Я не сразу сообразил, что происходит. Хотя, по моему, $e$ под логарифмом — это излишество.

[Brukvalub]

Да, Вы правы, вместо е можно было поставить любое положительное число, чтобы сохранить невырожденность первого члена ряда, я поставил е просто ради шутки.

[Руст]

Пол года назад я здесь приводил любопытный факт. Если функция f(x) такая, что из сходимости ряда $\sum_n a_n $ следует сходимость ряда $\sum_n f(a_n)$, то найдётся окрестность нуля, что функция f(x) является ростком линейной функции в этой окрестности. Верно и обобщение на топологические группы. На самом деле это свойство эквивалентно архимедовости топологии. Это не верно для р-адической топологии.

[незваный гость]

// вопрос про матрицы отделен в свою тему. нг