2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряд из кубов
Сообщение02.10.2006, 22:12 
Если \sum {a_n } сходится то и ряд \sum {a_n }^3 тоже сходится.

 
 
 
 Re: Опровергнуть/доказать...
Сообщение02.10.2006, 22:24 
Аватара пользователя
C0rWin писал(а):
Если \sum {a_n } сходиться то и ряд \sum {a_n }^3 тоже сходится.

Это неверно- вот контрпример: $\sum {\frac{{\cos (\frac{2}{3}\pi n)}}{{\ln (e + n)}}} $

 
 
 
 
Сообщение02.10.2006, 23:02 
Если я ничего не напутал, то приведенный вами пример рассходится. А нужно, чтобы сходился, а в третий степени рассходился, если конечно мы опровергаем.

 
 
 
 
Сообщение02.10.2006, 23:57 
Аватара пользователя
:evil:
Рассмотрите последовательность, устроенную примерно так:
для каждого $k$ идет $k$ членов $k^{-4/3}$, за которыми следует член $-k^{-1/3}$:
$1, -1, 2^{-4/3}, 2^{-4/3},-2^{-1/3}, 3^{-4/3}, 3^{-4/3}, 3^{-4/3}, -3^{-1/3},…$
После возведения в куб ряд положительных слагаемых сойдется, а ряд отрицательных разойдется, т.е. ряд станет расходящимся.

 
 
 
 
Сообщение03.10.2006, 07:12 
Аватара пользователя
C0rWin писал(а):
Если я ничего не напутал, то приведенный вами пример рассходится. А нужно, чтобы сходился, а в третий степени рассходился, если конечно мы опровергаем.

Вы напутали - выписанный мной ряд $\sum {\frac{{\cos (\frac{2}{3}\pi n)}}{{\ln (e + n)}}} $ сходится по признаку Дирихле.

 
 
 
 
Сообщение03.10.2006, 07:56 
Аватара пользователя
:evil:
Хитро! и красиво! Я не сразу сообразил, что происходит. Хотя, по моему, $e$ под логарифмом — это излишество.

 
 
 
 
Сообщение03.10.2006, 08:09 
Аватара пользователя
Да, Вы правы, вместо е можно было поставить любое положительное число, чтобы сохранить невырожденность первого члена ряда, я поставил е просто ради шутки. :D

 
 
 
 
Сообщение04.10.2006, 15:46 
Пол года назад я здесь приводил любопытный факт. Если функция f(x) такая, что из сходимости ряда $\sum_n a_n $ следует сходимость ряда $\sum_n f(a_n)$, то найдётся окрестность нуля, что функция f(x) является ростком линейной функции в этой окрестности. Верно и обобщение на топологические группы. На самом деле это свойство эквивалентно архимедовости топологии. Это не верно для р-адической топологии.

 
 
 
 
Сообщение04.10.2006, 21:02 
Аватара пользователя
// вопрос про матрицы отделен в свою тему. нг

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group