Число Е как степенная зависимость

[BoBuk]

2 Garik2

Вам непгеменно надо заинтересоваться полистепенными функциями.
Нет, я вполне серьёзно. В Вас столько энергии...

[paha]

а оберните ряд для $\ln 2$... получите реккурентную формулу)

[vek88]

Может быть и не в тему, но позволю себе маленький комментарий. Неким чудесным образом число $e$ появляется в самых неожиданных местах. Вот пример. В своих лекциях по управлению рисками - слушатели банкиры и/или топ-менеджеры компаний - чтобы напомнить число $e$, я задаю следующую устную задачу.

Задача 1. У вас на руках акция, котировка которой растет каждый день на 1%. На сколько процентов вырастет эта акция за 100 дней.

Обычно кто-то ляпнет 100%, кто-то начинает считать. Разумеется, слушатели, когда-то закончившие, например, мехмат или физтех, бодро говорят правильный ответ 172% (если помнят второй замечательный предел).

А при пояснении нематематикам деталей, связанных с леммой Ито (без упоминания самой леммы), даю задачу.

Задача 2. У вас на руках акция, котировка которой по четным дням растет на 1%, а по нечетным - падает на 1%. На сколько процентов изменится цена этой акции за 100 дней. Разумеется, здесь опять вылезает $e$, и школьная формула $(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$

[a ^ a]

Немного философствований и физики (в последней математикам следует обратить следствия) о числах $\pi, e$ в контексте однородности и анизотропности пространства - времени. http://www.arbuz.uz/t_e_pi.html

[Garik2]

Пройдясь по всем литературным источникам и добавив свои исследования, я получил довольно интересное эссе по поводу числа $e$:

Число $e$ может быть определено несколькими способами.

* Через пределы:

$e = \lim \limits _{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ (второй замечательный предел).

$e = \lim \limits _{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$.

* Как сумма ряда:

$ e = \sum \limits _{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} \, $

* Как реккурентные формулы:

a) $ e = a(\infty) \, $ , если $ \,\, a(0)=1 \,; \,\, a(n)=a(n-1) + \frac {1}{n!} \, $ ;

b) $ e = x_{\infty} \, \, $ если $ \,\, x_1\ge e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\approx 1.85528 \,\,; \, \, x_{n+1}=\frac{x_n}{\ln{x_n}} $

* Как произведение:

$ e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { (2n-1)(n+1)}{(2n+1)n}}\right)}^{2\,n} \right ]$

* Как представление Каталана:

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots \, $

* Как степенная зависимость:

$e = 2^{ \left( \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}}{n+1}} \right) ^{-1}} \, $

* Как бесконечная цепная дробь

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \, $

* Как единственное число $a$, для которого выполняется

$ \int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1. \, $

* Как единственное положительное число $a$, для которого верно

$\frac d {dt} a^t = a^t . \,$

Будут ли какие-либо замечания, исправления, дополнения?

[Garik2]

Еще одна формула, которой меня удивила программа (расширенная до интегральных представлений):

$e={c}^{ \left( \int \limits _{ 0}^{\infty }\!{\frac {c- 1}{ \left( 1+x \right) \left( 1+cx \right) }}{dx} \right) ^{-1}} \,\,\, $ , где $ c>1 \, $

Можете убедиться:

c:=2:e:=evalf(c^(Int((c-1)/(1+x)/(1+c*x),x=0..infinity)^(-1)));

[Nik_Nikols]

Не хотите добавить в эссе вероятностные "определения"?
См. задачу о письмах, о днях рождения и проч., шире - ЦПТ... При желании им можно придать форму вычисления некоторых пределов.

[BoBuk]

Ещё добавлю ко всему.

Экстремум функции $f(x)=x^\frac{1}{x}$

Или, что то же $f(x)=x^x$ для $\frac{1}{E}$

[Garik2]

Nik_Nikols и BoBuk!
Нельзя ли прямо здесь показать ваши находки на строгом математическом языке? Возможно, это обогатит эссе об одной из самых замечательных констант.

[BoBuk]

Garik2 в сообщении #348170 писал(а):

Nik_Nikols и BoBuk!
Нельзя ли прямо здесь показать ваши находки на строгом математическом языке? Возможно, это обогатит эссе об одной из самых замечательных констант.

На строгом, вряд ли. Как умеем.
Вы давно на форуме. Вроде бы видели мою тему. http://dxdy.ru/topic31952.html
В полистепенных прямой связи константы $e$ с константой $\pi$ я не обнаружил. А так много интересного. Всплывают числа, близкие к $\pi$, но "близкие", это понятие не математическое.

[Garik2]

Нет, такие вольности я не приемлю. Люблю только красивые математические связи но в классическом виде. Такое находить чрезвычайно трудно, так как в данной области работали талантливые и величайшие математики. Зато какой кайф я испытывал, решив полностью задачу о четырех кубах! http://renuar911.narod.ru/4cub.mht

[arseniiv]

Garik2 в сообщении #348170 писал(а):

Нельзя ли прямо здесь показать ваши находки на строгом математическом языке?

У BoBukа это делается же легко. Если у функции $f$ экстремум $e$, то (как правило; не помню особых случаев) верно $f'(e) = f'(x)|_e = 0$. Т. е. если дифференцировать не будем (чтобы видно было саму функцию), получим $\left(x^{1/x}\right)'|_e = 0$.

[Garik2]

Да, коллеги! Математика неисчерпаема и выдает такие перлы, что дух захватывает! Вот получил неожиданно связь между $e$ и $ \frac {\pi}{2}$ :

$e = \frac { \frac {\pi }{2}}{ \int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x\sin \left( x \right) }{{x}^{2}+1}}{dx}} \, = \, 2.718281829 $

В системе Maple:

e:=Pi/2/Int(x*sin(x)/(x^2+1),x=0..infinity)=evalf(Pi/2/Int(x*sin(x)/(x^2+1),x=0..infinity),30);

e = 2.71828182845904523536028747136

Ну разве не обыкновенное чудо?

[Garik2]

Еще в мою коллекцию:

$e={a}^{ \left [ \int \limits _{0}^{\infty }\! \frac { \sin \left( x \right) -{\frac {1}{a} \sin \left( ax \right) }}{x^2}{dx} \right] ^{-1}}$

где $a>=2$


a:=3;e:=a^((Int((sin(x)-sin(a*x)/a)/x^2,x=0..infinity))^(-1))=evalf(a^((int((sin(x)-sin(a*x)/a)/x^2,x=0..infinity))^(-1)),30);

e=2.71828182845904523536028747136

Вот графики подинтегральных функций :


Визуально видно - площади фигур практически равны. Но конфигурации совсем разные

При других коэффициентах такие графики (площади также равны):


Математика - это потрясающее разнообразие!

[Garik2]

Графики оказались верными. Площади для случая $a = c = 3$ равны примерно 1,1 и следовательно, $e \to 3^{ \frac {1}{1.1}} = 2.714854727$
Для второго графика при $a = c = 15$ : площади равны примерно 2,7; поэтому
$e \to 15^{\frac {1}{2.7}} = 2.726398632$

Площади находил так: скопировал графики на клетчатую бумагу в максимально возможном масштабе, подсчитал количество клеточек и определил S с ошибкой не более 0,1.
Когда в Maple взял определенные интегралы, то получил соответственно:
a:=3;S:=evalf(int( \frac {1}{x^2}(sin(x)-1/a*sin(a*x)),x=0..infinity)); S = 1.098612289
и
c:=3; evalf(int((c-1)/(1+x)/(1+c*x),x=0..infinity)); S = 1.098612289

Для второго графика S = 2.708050201

Интересно бы доказать и понять тождество:

$\int \limits _{0}^{\infty }\! \frac {\sin ( x )}{x^2} -{\frac {\sin ( ax ) }{a x^2}} {dx}=\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {a-1}{ \left( 1+x \right) \left( 1+ax \right) }}{dx} = ln(a) $

Ну как, тэйлороведы, слабО?