пример недифференцируемой функции

[ShMaxG]

roma2000 в сообщении #347974 писал(а):

производная существует если есть предел не самой функции, и именно вот этого выражения
$\[\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}} {{x - {x_0}}}\] $

А, ну хорошо, если поняли .

Эта функция в нуле не является непрерывной, сл-но не дифференцируема -- это одно из объяснений недифференцируемости.

[roma2000]

признаюсь в тугодумии.

на ваш вопрос - "Ну, существует предел?"
я не знаю ответ. не пойму что следует из полученных Вами выражений.
существует предел или нет, объясните пжлста?

[ShMaxG]

(Нарисую картинку здесь, чтобы не листать):
$ \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}} {{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ \begin{gathered} \frac{{ - 1 + 1}} {x},x \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{1 + 1}} {x},x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $

Если икс стремится к нулю справа от нуля, то имеем нуль. Если слева -- стремимся к бесконечности. Значит предела не существует. Потому что если предел существует, то неважно как к этому нулю подходить, стремится должны к одному и тому же.

[Mitrius_Math]

roma2000 в сообщении #347974 писал(а):

производная существует если есть предел не самой функции, и именно вот этого выражения $\[\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}} {{x - {x_0}}}\] $

А этот предел существует, если $\lim_{ \Delta x \rightarrow + 0}{\frac {f(x+ \Delta x) - f(x) } {\Delta x}}=\lim_{ \Delta x \rightarrow - 0}{\frac {f(x + \Delta x) - f(x) } {\Delta x}}$. Например, функция f(x)=1 при x<1; f(x)=x^2 при $x \geq 1$ производной в точке x=1 не имеет.

[roma2000]

наверное остался один шаг до понимания
можно вопрос -
Если икс стремится к нулю справа от нуля, то имеем нуль. Если слева -- стремимся к бесконечности. Значит предела не существует. Потому что если предел существует, то неважно как к этому нулю подходить, стремится должны к одному и тому же.
$ \begin{gathered} \frac{{ - 1 + 1}} {x},x \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{1 + 1}} {x},x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $

первая строка - получается ноль делим на икс - это значит справа от нуля икс стремится к нулю
вторая строка - получается два делим на икс - это значит слева от нуля икс стремится к бесконечности
так?
и если с разных сторон нуля предел (наверное не предел а функция, да?) стремиться в разные стороны, то его не существует.
а если бы они стремились к одной величине, то тогда он существует?

[ShMaxG]

roma2000 в сообщении #347990 писал(а):

первая строка - получается ноль делим на икс - это значит справа от нуля икс стремится к нулю

Икс по-любому стремится к нулю. В данном случае важно, что $\frac{-1+1}{x}$ стремится к нулю, при икс стрем. к нулю (данный случай тривиален, ибо $\frac{-1+1}{x}=0$ тождественно).

roma2000 в сообщении #347990 писал(а):

вторая строка - получается два делим на икс - это значит слева от нуля икс стремится к бесконечности

Опять же, икс стремится к нулю. А $\frac{1+1}{x}$ стремится к бесконечности.

roma2000 в сообщении #347990 писал(а):

и если с разных сторон нуля функция стремиться в разные стороны, то его не существует.

(Выделение - мое). Да, это верно. В данном случае функция $\[\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}} {{x - {x_0}}}\]$ имеет разные пределы справа и слева. Поэтому предела не существует.

roma2000 в сообщении #347990 писал(а):

а если бы они стремились к одной величине, то тогда он существует?

Да.

[roma2000]

уважаемый ShMaxG!
спасибо Вам за ваше терпение и оказанную помощь.
наверное для вас это все просто, мне это очень помогло в понимании вопроса.
может посоветуете что нибудь почитать по этой теме. наверняка литературы много, но может быть есть источники где простым языком и много примеров.
спасибо еще раз!

[ShMaxG]

Рад был помочь
А какая здесь может быть литература? Смотрите в Ваших лекциях, семинарских записях. Просто решайте много задач. Будет опыт, будет все.

[roma2000]

спасибо еще раз.
позволю себе еще один вопрос.
в теории оптимального управления рассматриваются различные объекты или системы.
в основном процесс управления этими объектами (закон движения системы, процесс изменения параметров во времени) описывается дифференциальными уравнениями.
а если я рассматриваю системы, параметры которой во времени изменяются дискретно?
может ли для описания закона движения таких систем применяться диф.уравнения?
наверное нет, но почему то везде пишут, что используются диф.уравнения. а раз функция, которая описывает закон движения систем - не дифференцируема, то разве можно использовать этот тип уравнений?
логика такова - нельзя описать закон движения объекта дифференциальным уравнением, потому что функция не дифференцируема. это справедливо?

[ShMaxG]

Я теорию оптимального управления не шарю, ничем не могу помочь...

[AD]

Дифуры в вариационном исчислении и теории оптимального управления возникают, когда мы произносим заклинание "в точке максимума производная равна нулю", только в качестве точки там возникает функция, а условие равенства производной нулю тогда обращается в дифференциальное уравнение на функцию.

А заклинание это в этом случае называется "принцип максимума".

Нередко встречаются системы, в которых параметры меняются непрерывно, а управление - дискретно; в этом случае все равно получаются дифуры. Но когда дискретно вообще всё, то да, дифурам возникать неоткуда, и приходится искать другие соображения.

[roma2000]

Вы мне очень помогли.Спасибо еще раз!

[Alexey1]

roma2000 в сообщении #348009 писал(а):

логика такова - нельзя описать закон движения объекта дифференциальным уравнением, потому что функция не дифференцируема. это справедливо?

В теории дифференциальных уравнений существует такое понятие как слабое решение, вот оно и не обязано быть везде дифференцируемым.