первая строка - получается ноль делим на икс - это значит справа от нуля икс стремится к нулю
Икс по-любому стремится к нулю. В данном случае важно, что

стремится к нулю, при икс стрем. к нулю (данный случай тривиален, ибо

тождественно).
вторая строка - получается два делим на икс - это значит слева от нуля икс стремится к бесконечности
Опять же, икс стремится к нулю. А

стремится к бесконечности.
и если с разных сторон нуля функция стремиться в разные стороны, то его не существует.
(Выделение - мое). Да, это верно. В данном случае функция
![$\[\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}
{{x - {x_0}}}\]$ $\[\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}
{{x - {x_0}}}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/3/60393f1909a0f81e274d089b139c34fb82.png)
имеет разные пределы справа и слева. Поэтому предела не существует.
а если бы они стремились к одной величине, то тогда он существует?
Да.