пример недифференцируемой функции

[roma2000]

подскажите пожалуйста пример простейших недифференцируемых функций.

[ShMaxG]

$y=|x|$ в нуле не дифференцируема, сойдет? Но это только в одной точке. А Вам надо недифференцируемые функции на каком множестве?

[roma2000]

да сойдет. спасибо. а можно еще один вопрос.
функция y=f(x)->
y=1, если x<0
y=-1, если x>0
эта функция дифференцируема?

[ShMaxG]

roma2000
А Вы как считаете? Только обоснованно...

[roma2000]

считаю что функция в точке 0 недифференцируема.

[ShMaxG]

Почему?

[roma2000]

да уж. для меня это сложный вопрос.
я пытаюсь ПОНЯТЬ эти вещи.

Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x0 = 0, её производная в этой точке не существует.

у той функции что я привел -> если у ней есть производная в точке 0 - значит она дифференцируема, если нет производной - значит нет.
соответственно вопрос - есть ли у этой функции в точке 0 производная?

-- Сб авг 28, 2010 19:15:25 --

Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует
соответственно надо определить есть ли предел у этой функции в точке 0. так?

[ShMaxG]

Ну да, дифференцируемость эквивалентна существованию производной. Вот Вы утверждаете, что в нуле она не дифференцируема (сл-но нет производной). Но это же не сложно проверить вручную. Производная -- это соответствующий предел. С другой стороны непрерывность тут тоже можно приплести...

-- Сб авг 28, 2010 19:16:26 --

roma2000 в сообщении #347947 писал(а):

соответственно надо определить есть ли предел у этой функции в точке 0. так?

Ну да

[roma2000]

спасибо что отвечаете на вопросы мои.

Производная -- это соответствующий предел

а как у моей функции определить предел?

[ShMaxG]

Ну посмотрите определение производной. Там этот предел написан. Подставьте туда свою фунцию и точку, в которой надо определить производную. Ну и вычислите предел...

[roma2000]

Ну посмотрите определение производной. Там этот предел написан.

Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует.
Значение A называется пределом (предельным значением) функции f в точке x0, если для любого наперёд взятого положительного числа e найдётся отвечающее ему положительное число b=b(e) такое, что для всех аргументов x, удовлетворяющих условию 0 < ( x - x0 )<b , выполняется неравенство
( f ( x) - A ) < e [Предел функции по Коши]

Подставьте туда свою фунцию и точку, в которой надо определить производную.
точка как я понимаю - это 0. f(0)=0. соответственно (0-0)<e


Ну и вычислите предел...
значит предел = 0.
так?

-- Сб авг 28, 2010 20:01:02 --

не могу понять.
функция может быть дифференцируема, но при этом она не дифференцируема в определенной точке.так что ли?

[ShMaxG]

1) Учитесь оформлять формулы в техе, иначе будут отправлять в карантин. Потому что

2) Очень трудно читать, что Вы вообще написали. И

3) Не пойму, что и куда Вы там подставляли, вот смотрите

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда если существует предел $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}} {{x - {x_0}}}\] $, то говорят, что существует производная функции $f(x)$ в точке $x_0$, и она равна значению этого предела.

В нашем случае имеем $\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,x < 0 \hfill \\ - 1,x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$ и $x_0=0$. Берем и просто подставляем:
$ \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}} {{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ \begin{gathered} \frac{{ - 1 + 1}} {x},x \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{1 + 1}} {x},x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$.

Ну, существует предел?

И обратите внимание на выделенные мной слова.

[Mitrius_Math]

Функция Дирихле не имеет производной:
$\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,x \in Q \hfill \\ 0,x \not \in Q \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

[ShMaxG]

Добавлю: функция Дирихле нигде не имеет производной.

[roma2000]

1 - спасибо за ответ.
2 - я только сегодня зарегистрировался, к тому же чайник полный. буду учиться.
3 - понял первую свою ошибку.производная существует если есть предел не самой функции, и именно вот этого выражения
$\[\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}} {{x - {x_0}}}\] $