Вопрос по теории групп

[GanimeD]

Задача из монографии Холла "Теория групп": нужно показать, что, если p < q -- простые числа, то группа порядка pq не может содержать двух различных подгрупп порядка q.

Группы изучаю недавно, потому даже элементарные вещи порой приводят в ступор (это ведь элементарная вещь?). :) Подскажите ход рассуждений, от чего нужно отталкиваться?

[Хорхе]

Например, от третьей теоремы Силова.

[GanimeD]

С третьей теоремой все действительно просто. Спасибо за ответ.
Но дело в том, что задача дана в книге в самом начале (после первой главы), где эти теоремы еще не приведены. Помимо основных определений даны понятия смежности и сопряженности. Как решить задачу, опираясь на эти понятия?

Я рассуждал так. Пусть Н -- некоторая подгруппа G порядка q. Предположим, мы нашли еще одну подгруппу К того же порядка, но отличную от Н. Можно утверждать следующее. У Н и К нет общих элементов, т.к. они простых порядков. Значит, в разбиении G по Н на смежные классы все элементы К разбросаны по классам, отличным от Н1 (ну, за исключением самой единицы). При этом любая тройка ki, kj и kikj элементов из К лежит в трех разных смежных классах (поскольку, если бы ki и kj находились в одном смежном классе, то их произведение так же находилось в нем и, более того, являлось бы элементом Н, что недопустимо), а отсюда можно сделать вывод, что ни один из элементов К не может находиться в каком-либо смежном классе G/H вместе с другим элементом К (на каждый элемент К нужно по отдельному смежному классу).

Если в рассуждениях нет ошибки, то в это месте можно написать строчку "следовательно, задача решена", т.к. всего смежных классов по Н меньше, чем нужно для существования К. Но (!) р ведь не просто так дано простым! Значит, в рассуждениях ошибка все-таки есть... Но где? :)

[Хорхе]

GanimeD в сообщении #347046 писал(а):

[правка моя] (поскольку, если бы $k_i$ и $k_j$ находились в одном смежном классе, то их произведение также находилось в нем и, более того, являлось бы элементом $H$, что недопустимо)

Враки.

Впрочем, если исправить слова

Цитата:

произведение также находилось в нем и, более того,

на

Цитата:

отношение

то рассуждение сразу станет правильным. Простота $p$ не нужна, только простота $q$ и $p<q$.

Пользуйтесь ТеХом, а то придет злобный модератор и накажет. И, между прочим, набрать

$k_i$

проще, чем

[i]k[size=80]i[/size][/i]

[GanimeD]

Так... Согласен, это враки. :) Но результата вывода это ведь не меняет.
Предположим, что $k_i $ принадлежит некоторому классу $Hk_j$. Тогда можно записать $k_i = hk_j$ (где $h \in H$), откуда $k_ik_j^{-1} = h$, значит, $h$ принадлежит $K$, разве нет?

-- Ср авг 25, 2010 16:46:33 --

Хорхе в сообщении #347064 писал(а):

Впрочем, если исправить слова

Цитата:

произведение также находилось в нем и, более того,

на

Цитата:

отношение

то рассуждение сразу станет правильным. Простота $p$ не нужна, только простота $q$ и $p<q$.

Я извиняюсь, прочитал слово "Враки" и отвлекся на рекомендации о записи формул (кстати, за них спасибо), пропустив середину. :)

Вопрос исчерпан, спасибо за помощь.