Как "пробить" абсолютную бесконечность?

[Busy_Beaver]

До Кантора считалось, что больше бесконечности нет ничего. И что все бесконечности одинаковы. Но вот пришел Кантор и показал, что бесконечность бесконечности рознь. В частности, множество всех вещественных чисел "бесконечнее" множества всех натуральных чисел, а любое абсолютно бесконечное множество (например, множество всех множеств) "бесконечнее" любого бесконечного (но не абсолютно бесконечного) множества.
Что я хочу этим сказать? А то, что Кантор отодвинул границу. Иными словами, Кантор "пробил" бесконечность. И напрашивается вывод (во всяком случае, в моей голове уж точно) о том, что наступит время, и придёт некто умнее Кантора и докажет, что и абсолютная бесконечность не является пределом. В частности, например, докажет, что множество всех мыслимых объектов "бесконечнее" множества всех множеств (или, может быть, наоборот).
Так вот, у кого из вас есть идея о том, как "пробить" абсолютную бесконечность?

[мат-ламер]

Busy_Beaver в сообщении #346698 писал(а):

В частности, множество всех вещественных чисел "бесконечнее" множества всех натуральных чисел, а любое абсолютно бесконечное множество (например, множество всех множеств) "бесконечнее" любого бесконечного (но не абсолютно бесконечного) множества.

Ссылочку можно? Или Вы это сами доказали? (Имеется в виду второй факт).

[Busy_Beaver]

Ссылочку? Пожалуйста!
http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_Infinite

[мат-ламер]

Какой системы аксиом (в теории множеств) будем придерживаться - Цермело-Френкеля, Гёделя-Бернайса, или наивной теории множеств (обойдёмся без аксиом)?

-- Вт авг 24, 2010 14:13:22 --

По ссылке рассматривается не множество всех множеств, а множество всех ординалов.

-- Вт авг 24, 2010 14:19:06 --

Там дальше ссылка на парадокс Бурали-Форти, возникающий в наивной теории множеств при оперировании с понятием "множество всех ординалов". В рамкам аксиом Гёделя-Бернайса это класс.

[Busy_Beaver]

Ну давайте без аксиом попробуем (а возможно ли? (и кто сказал, что наивная теория множеств не имеет системы аксиом?)).
Мне, в принципе, всё равно. Просто маленькая девочка спросила у меня "что больше бесконечности?". Рассказал ей про "алефы", про "гильбертрв отель" и про абсолютную бесконечность (девочка исключительно одаренная (математически) , так что поняла). Затем последовал ожидаемый вопрос "а что больше абсолютной бесконечности?". Отвечаю ей "больше абсолютной бесконечности нет и не может быть ничего". А она мне: "но ведь ещё Аристо (так она Аристотеля называет, с ударением на "и") подметил, что само понятие границы толкает за ее пределы, значит, должно быть что-то большее?".

[мат-ламер]

Без аксиом опасно - как бы не влезть в противоречия.

[Busy_Beaver]

А на какие аксиомы опирался Кантор, когда "пробивал" бесконечность?

[epros]

Busy_Beaver в сообщении #346698 писал(а):

придёт некто умнее Кантора и докажет, что и абсолютная бесконечность не является пределом

А разве Кантор (или кто-то ещё) утверждал, что "абсолютная бесконечность" является пределом? Насколько я понимаю, чтобы что-то о ней утверждать, её надо определить. Тут возможны несколько вариантов:
1) Понимать её как класс всех множеств.
2) Понимать её как недостижимый кардинал.
3) ???

Во всяком случае, первые два, как я понимаю, "пределами" не являются.

Кстати, ник у Вас классный, к теме очень подходит.

[Busy_Beaver]

Когда я придумывал мой ник, я ещё не знал, что сексуально озабоченные американцы называют женский половой орган словом "beaver" (бобр). Но, вообще-то, Busy_Beaver - это "Занятой_Бобёр"...а ещё вот это: http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver

[epros]

Busy_Beaver в сообщении #346723 писал(а):

Когда я придумывал мой ник, я ещё не знал, что сексуально озабоченные американцы называют женский половой орган словом "beaver" (бобр). Но, вообще-то, Busy_Beaver - это "Занятой_Бобёр"...а ещё вот это: http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver

Угу, я в курсе. Я именно об этом смысле (не про половой орган). Busy beaver, насколько я понимаю, выражение, означающее кого-то вроде трудоголика. Вполне логично было назвать таким образом машину Тьюринга, озабоченную тем, чтобы нафигачить максимально возможное количество единиц на ленту.

Похоже, что способ определения этой самой функции $\Sigma(n)$ навевает мысли о попытках достижения всяческих "бесконечностей"...

[Garik2]

Чтобы пробить бесконечность особого ума не надо. Достаточно вместо $10^{100}$ написать $10^{101}$

[Busy_Beaver]

Garik2 в сообщении #346734 писал(а):

Чтобы пробить бесконечность особого ума не надо. Достаточно вместо $10^{100}$ написать $10^{101}$

А вот здесь Вы не правы. Если к алеф-нуль прибавить единицу, получится всё равно алеф-нуль.

[epros]

Busy_Beaver в сообщении #346747 писал(а):

Если к алеф-нуль прибавить единицу, получится всё равно алеф-нуль.

Вы про арифметику ординалов или кардиналов? В статье про абсолютную бесконечность, на которую Вы сослались, речь шла об ординалах. Там прибавление единички всегда порождает новый ординал.

[Busy_Beaver]

Тут у моей племяшки еще один вопрос по ходу возник: существует ли такое множество, количество всех подмножеств которого бесконечно, но счетно? Лично я думаю, что нет, так как если множество конечно, то и количество всех его подмножеств тоже конечно, а если множество бесконечно, то количество всех его подмножеств как минимум алеф-1...или я не прав?

[venco]

Множество всех степеней двойки. Каждому подмножеству однозначно соответствует натуральное число (сумма его элементов).