Где ошибка? (логарифм по отрицательному основанию)

[NNDeaz]

Есть рав-во

$${\log _{ - 2}}4 = 2$$

Но

$${\log _{ - 2}}4 = \frac{{\ln 4}}{{\ln ( - 2)}}$$

Следовательно

$$\frac{{\ln 4}}{{\ln ( - 2)}} = 2$$

Следовательно

$$\ln 4 = 2\ln ( - 2)$$

И

$$0.5\ln 4 = \ln ( - 2)$$

И

$$\ln 2 = \ln ( - 2)$$

Где ошибка?

[Виктор Викторов]

Загляните в школьные учебники и найдите там ограничения для основания логарифма и выражения под знаком логарифма.

[hurtsy]

NNDeaz в сообщении #346515 писал(а):

Есть рав-во

$${\log _{ - 2}}4 = 2$$

Но

$${\log _{ - 2}}4 = \frac{{\ln 4}}{{\ln ( - 2)}}$$

Вы можете написать чему равен $\ln(-2)$ ? С уважением,

[Виктор Викторов]

hurtsy в сообщении #346524 писал(а):

Вы можете написать чему равен $\ln(-2)$ ? С уважением,

В вещественных числах выражение под знаком логарифма должно быть положительно. $\ln(-2)$ определён в комплексных числах. Если Вас интересует этот вопрос, посмотрите в учебниках.

[NNDeaz]

hurtsy

$$\ln ( - 2) = \ln 2 + i\pi (2k + 1)$$

-- Пн авг 23, 2010 19:47:30 --

Виктор Викторов
а с чего взяли это ограничение?

[hurtsy]

NNDeaz в сообщении #346530 писал(а):

hurtsy

$$\ln ( - 2) = \ln 2 + i\pi (2k + 1)$$

А далее. $\ln ( - 2) = \ln 2 + i\pi (2k + 1) \ne \ln2$

Если так хорошо владеете ТФКП, пишите все подробно может и получится. С уважением,

[venco]

hurtsy в сообщении #346560 писал(а):

NNDeaz в сообщении #346530 писал(а):

hurtsy

$$\ln ( - 2) = \ln 2 + i\pi (2k + 1)$$

А далее. $\ln ( - 2) = \ln 2 + i\pi (2k + 1) \ne \ln2$

Если так хорошо владеете ТФКП, пишите все подробно может и получится. С уважением,

А в комплексных числах логарифм по произвольному основанию неопределён. Точнее его можно определить как одношение логарифмов, то тогда надо не забывать, что оба из этих логарифмов - неоднозначные функции.

[NNDeaz]

venco
Тоесть нельзя определить логарифм

$${\log _{( - a)}}b$$

где

$$a > 0$$

?

[mihailm]

NNDeaz в сообщении #346647 писал(а):

Тоесть нельзя определить логарифм

$${\log _{( - a)}}b$$

а попробуйте график ниже нарисовать тогда поймете

$${\log _{( - 2)}}x$$

[NNDeaz]

Попытка номер 2.
Имеем

$$\frac{1}{i} = - i$$

Но по формуле

$${e^{i\pi }} = - 1$$

Имеем

$$\ln ( - 1) = i\pi $$

И

$$i = \frac{{\ln ( - 1)}}{\pi }$$

Подставляем в первое выражение, получаем

$$\frac{\pi }{{\ln ( - 1)}} = \frac{{ - \ln ( - 1)}}{\pi }$$

Далее

$$\frac{\pi }{{\ln ( - 1)}} = \frac{{\ln ( - 1)}}{\pi }$$

И

$${(\ln ( - 1))^2} = {\pi ^2}$$

Далее

$${(i\pi )^2} = {\pi ^2}$$

Следовательно

$$ - ({\pi ^2}) = {\pi ^2}$$

Где ошибка?

[ShMaxG]

NNDeaz в сообщении #346728 писал(а):

Но по формуле

$${e^{i\pi }} = - 1$$

Имеем

$$\ln ( - 1) = i\pi $$

А не удивляет, что $e^{3i\pi}=-1$? Как и $e^{5i\pi}=-1$?