Матричное уравнение. Что это?

[serval]

Я сильно извиняюсь за постановку вопроса, но мне очень нужно знать, что это за формула

$(I-A)^{-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} A^n$

Дело в том, что у меня получается нечто подобное с линейными операторами, но я совершенно не ориентируюсь как с этим обращаться и где это можно посмотреть.
Глубоко сознаю свою неправоту, но не имею другого выхода как просить помощи здесь. Пожалуйста.

[gris]

Это сумма геометрической прогрессии, применённая к квадратным матрицам.
Вопрос - когда эта формула верна?
Например, для дигональных матриц с элементами по модулю меньшими 1, уж точно верна.

[terminator-II]

serval в сообщении #346279 писал(а):

Я сильно извиняюсь за постановку вопроса, но мне очень нужно знать, что это за формула

$(I-A)^{-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} A^n$

Дело в том, что у меня получается нечто подобное с линейными операторами, но я совершенно не ориентируюсь как с этим обращаться и где это можно посмотреть.
Глубоко сознаю свою неправоту, но не имею другого выхода как просить помощи здесь. Пожалуйста.

Эта формула верна для линейных операторов на банаховом (не обязательно конечномерном )пространстве при условии, что $\|A\|<1$

[Padawan]

ряд Неймана называется

[мат-ламер]

Там может строгое неравенство для нормы? Иначе в качестве $A$ берём единичную матрицу.

[serval]

Замечательно. Спасибо. У меня как раз степени квадратных матриц. Только они не диагональные, а ленточные.
А где об этом можно прочесть?

[gris]

Ключевые слова: функции от матриц, матричные ряды, разложение в ряд Тейлора (ваш случай и есть), спектр и т.п.
У Ланкастера есть что-то в Теории матриц для начального ознакомления, про современное не могу сказать.

[AKM]

serval в сообщении #346279 писал(а):

Я сильно извиняюсь за постановку вопроса

Я сильно извиняюсь за запоздалость реакции, но извольте поправить заголовок темы.
[Перемещено из "Помогите решить (М)"]

Возвращено.

[мат-ламер]

terminator-II в сообщении #346286 писал(а):

serval в сообщении #346279 писал(а):

Я сильно извиняюсь за постановку вопроса, но мне очень нужно знать, что это за формула

$(I-A)^{-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} A^n$

Дело в том, что у меня получается нечто подобное с линейными операторами, но я совершенно не ориентируюсь как с этим обращаться и где это можно посмотреть.
Глубоко сознаю свою неправоту, но не имею другого выхода как просить помощи здесь. Пожалуйста.

Эта формула верна для линейных операторов на банаховом (не обязательно конечномерном )пространстве при условии, что $\|A\|<1$

И не обязательно $\|A\|<1$. Достаточно $\rho (A)<1$.

[terminator-II]

приведите plz пример линейного оператора $A$ на конечномерном пространстве с таким резольвентным множеством:

мат-ламер в сообщении #346497 писал(а):

$\rho (A)<1$.

[Padawan]

$\rho (A)$ -- это, видимо, спектральный радиус $\rho (A)=\sup \{|z|: z\in \mathrm{spec} \ A\}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt [n] {\|A^n\|}$.

Допустим $A=\left ( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 0& 0 \end {matrix}\right )$

[мат-ламер]

Да, я имел в виду спектральный радиус.

[terminator-II]

А где можно посмотреть теорему про то, что если спектральный радиус $<1$, то ряд $\sum A^n$ сходится по операторной норме?

[Padawan]

Это следует из второй формулы для спектрального радиуса $\rho(A)=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] \|A^n\|$ и признака Коши, примененного к ряду из норм.
А доказательство самой формулы есть по-моему в Колмогорове-Фомине. Там в конце приложение по банаховым алгебрам.
В книжках Гельфанд И.М. Райков Д.А. Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца 1960 и Наймарк М.А. Нормированные кольца 1968 точно есть.

[terminator-II]

да, ok