2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Матричное уравнение. Что это?
Сообщение22.08.2010, 18:21 
Аватара пользователя
Я сильно извиняюсь за постановку вопроса, но мне очень нужно знать, что это за формула

$(I-A)^{-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} A^n$

Дело в том, что у меня получается нечто подобное с линейными операторами, но я совершенно не ориентируюсь как с этим обращаться и где это можно посмотреть.
Глубоко сознаю свою неправоту, но не имею другого выхода как просить помощи здесь. Пожалуйста.

 
 
 
 Re: Извините, но очень нужно
Сообщение22.08.2010, 18:27 
Аватара пользователя
Это сумма геометрической прогрессии, применённая к квадратным матрицам.
Вопрос - когда эта формула верна?
Например, для дигональных матриц с элементами по модулю меньшими 1, уж точно верна.

 
 
 
 Re: Извините, но очень нужно
Сообщение22.08.2010, 18:51 
serval в сообщении #346279 писал(а):
Я сильно извиняюсь за постановку вопроса, но мне очень нужно знать, что это за формула

$(I-A)^{-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} A^n$

Дело в том, что у меня получается нечто подобное с линейными операторами, но я совершенно не ориентируюсь как с этим обращаться и где это можно посмотреть.
Глубоко сознаю свою неправоту, но не имею другого выхода как просить помощи здесь. Пожалуйста.

Эта формула верна для линейных операторов на банаховом (не обязательно конечномерном )пространстве при условии, что $\|A\|<1$

 
 
 
 Re: Извините, но очень нужно
Сообщение22.08.2010, 18:57 
ряд Неймана называется

 
 
 
 Re: Извините, но очень нужно
Сообщение22.08.2010, 19:49 
Аватара пользователя
Там может строгое неравенство для нормы? Иначе в качестве $A$ берём единичную матрицу.

 
 
 
 Re: Извините, но очень нужно
Сообщение22.08.2010, 20:19 
Аватара пользователя
Замечательно. Спасибо. У меня как раз степени квадратных матриц. Только они не диагональные, а ленточные.
А где об этом можно прочесть?

 
 
 
 Re: Извините, но очень нужно
Сообщение22.08.2010, 20:34 
Аватара пользователя
Ключевые слова: функции от матриц, матричные ряды, разложение в ряд Тейлора (ваш случай и есть), спектр и т.п.
У Ланкастера есть что-то в Теории матриц для начального ознакомления, про современное не могу сказать.

 
 
 
 Re: Извините, но очень нужно
Сообщение23.08.2010, 01:21 
Аватара пользователя
serval в сообщении #346279 писал(а):
Я сильно извиняюсь за постановку вопроса
 !  Я сильно извиняюсь за запоздалость реакции, но извольте поправить заголовок темы.
[Перемещено из "Помогите решить (М)"]


Возвращено.

 
 
 
 Re: Матричное уравнение. Что это?
Сообщение23.08.2010, 17:46 
Аватара пользователя
terminator-II в сообщении #346286 писал(а):
serval в сообщении #346279 писал(а):
Я сильно извиняюсь за постановку вопроса, но мне очень нужно знать, что это за формула

$(I-A)^{-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} A^n$

Дело в том, что у меня получается нечто подобное с линейными операторами, но я совершенно не ориентируюсь как с этим обращаться и где это можно посмотреть.
Глубоко сознаю свою неправоту, но не имею другого выхода как просить помощи здесь. Пожалуйста.

Эта формула верна для линейных операторов на банаховом (не обязательно конечномерном )пространстве при условии, что $\|A\|<1$
И не обязательно $\|A\|<1$. Достаточно $\rho (A)<1$.

 
 
 
 Re: Матричное уравнение. Что это?
Сообщение23.08.2010, 18:19 
приведите plz пример линейного оператора $A$ на конечномерном пространстве с таким резольвентным множеством:
мат-ламер в сообщении #346497 писал(а):
$\rho (A)<1$.

 
 
 
 Re: Матричное уравнение. Что это?
Сообщение23.08.2010, 18:38 
$\rho (A)$ -- это, видимо, спектральный радиус $\rho (A)=\sup \{|z|: z\in \mathrm{spec} \  A\}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt [n] {\|A^n\|}$.

Допустим $A=\left ( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 0& 0 \end {matrix}\right )$

 
 
 
 Re: Матричное уравнение. Что это?
Сообщение23.08.2010, 18:40 
Аватара пользователя
Да, я имел в виду спектральный радиус.

 
 
 
 Re: Матричное уравнение. Что это?
Сообщение23.08.2010, 18:50 
А где можно посмотреть теорему про то, что если спектральный радиус $<1$, то ряд $\sum A^n$ сходится по операторной норме?

 
 
 
 Re: Матричное уравнение. Что это?
Сообщение23.08.2010, 19:19 
Это следует из второй формулы для спектрального радиуса $\rho(A)=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] \|A^n\|$ и признака Коши, примененного к ряду из норм.
А доказательство самой формулы есть по-моему в Колмогорове-Фомине. Там в конце приложение по банаховым алгебрам.
В книжках Гельфанд И.М. Райков Д.А. Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца 1960 и Наймарк М.А. Нормированные кольца 1968 точно есть.

 
 
 
 Re: Матричное уравнение. Что это?
Сообщение23.08.2010, 19:23 
да, ok

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group