Антигравитация? Да легко!..

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345641 писал(а):

Подальше от горизонта - это значит $\frac{r_g}{r} \to 0$, т.е.:
$\frac{d^2 r}{dt^2}=-\frac{r_g c^2}{2 r^2} [1 - \frac{V^2}{c^2}]$
Изменения знака ускорения не наблюдается.

Это - Ваша формула. А Вы пока в ее правильности не только меня не убедили, но и себя. Проинтегрируйте в общем случае (без $\frac{r_g}{r} \to 0$)

epros в сообщении #345641 писал(а):

Но дело в том, что эта система статическая, т.е. метрика не зависит от времени. А это значит, что $\frac{d^2 s}{dt^2} = 0$, так что при переходе от переменной $s$ к переменной $t$ из второй производной не вылезет никаких лишних членов.

Да в саму $ds$ входят и координаты и скорости. Вы же уравнения движения пишите.

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345658 писал(а):

Это - Ваша формула. А Вы пока в ее правильности не только меня не убедили, но и себя.

Точно, пока не убедил , но что-то я как-то ленюсь сейчас в лоб решать такие задачки. Ваш вывод посмотрел, там вроде всё чисто. Что дальше, как будете упрощать? (Самому мне что-то очень не хочется).

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345701 писал(а):

Что дальше, как будете упрощать?

Не понял, что нужно упрощать? Последнее выражение? Да никак. Из него сразу следует формула для ускорения из первого сообщения. Там достаточно на него внимательно посмотреть.

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345705 писал(а):

Там достаточно на него внимательно посмотреть.

Да уж больно внимательно нужно смотреть... Мне кажется, что вроде бы всё приводится к указанному Вами виду (с тройкой), но всё-таки в уме это вертеть ... можно где-нибудь и ошибиться. Разве нельзя расписать?

Эта тройка здорово меня удивляет. Ну не должно вроде бы у поля на бесконечности быть такой странной реакции на скорость объекта.

-- Пт авг 20, 2010 16:06:11 --

Кстати, подстановка частного решения для тела, падающего из бесконечности с нулевой начальной скоростью, которое приведено на астронете:

$V = \sqrt{\frac{r_g}{r}} (1 - \frac{r_g}{r})$ (здесь принято $c=1$)

по-моему для Вашего уравнения тоже не приводит к успеху... О, нет, сорри, всё любопытнейшим образом сошлость!

-- Пт авг 20, 2010 16:15:58 --

Стало быть, в этой тройке есть истина. Любопытно было бы проверить экспериментом

[epros]

Вообще-то я могу Вам сказать куда девается Ваша тройка. Увы, антигравитации не получится и свет разогнать быстрее скорости света тоже не удастся

Не смотря на то, что $dr$ и $dt$ близки к расстояниям и промежуткам времении, бесконечно малое отличие всё же существенно. Т.е. нужно в качестве ускорения рассматривать не $\frac{d^2 r}{dt^2}$, а $\frac{d^2 l}{ds^2}$, где:
$dl = \frac{dr}{\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}}}$
$ds = \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \, dt$

Переходим к этим координатам и убеждаемся, что в формуле для ускорения больше нет никакой тройки.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345727 писал(а):

Вообще-то я могу Вам сказать куда девается Ваша тройка.

Никуда она не девается. Потому что
$\frac{dr}{dt}=\sqrt{\frac{r_g}{r}}(1-\frac{r_g}{r})$
Вы в этом сами убедились
Если же уравнения движения в принципе решать в 4-мерном виде, то Вы ее просто не увидите.
А может, всё это раньше потому и оставалось незамеченным?
Надо как-нибудь прощупать это в новой теме.

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345749 писал(а):

epros в сообщении #345727 писал(а):

Вообще-то я могу Вам сказать куда девается Ваша тройка.

Никуда она не девается. Потому что
$\frac{dr}{dt}=\sqrt{\frac{r_g}{r}}(1-\frac{r_g}{r})$
Вы в этом сами убедились

Не понял. Это - частное решение. Ваше уравнение в координатах $r$ и $t$ - правильное, мы убедились. Но в левой части у него - не ускорение. Высчитайте чему равно реальное ускорение $\frac{d^2 l}{d\tau^2}$ и увидите, что там нет скорости, при которой ускорение меняет знак.

Soshnikov_Serg в сообщении #345749 писал(а):

Если же уравнения движения в принципе решать в 4-мерном виде, то Вы ее просто не увидите.

Какая разница в каком виде решать? Вы получили правильное решение в координатах статической СО, как его ни крути, оно будет то же (с тройкой).

Soshnikov_Serg в сообщении #345749 писал(а):

А может, всё это раньше потому и оставалось незамеченным?
Надо как-нибудь прощупать это в новой теме.

Да просто внимания никто не обращал. На самом деле ведь никакой антигравитации здесь нет. Да и быть не может, потому что тогда можно было бы быстрее света разогнаться: при $v =c$ ускорение обязано быть нулевым.

[Someone]

Soshnikov_Serg в сообщении #345749 писал(а):

А может, всё это раньше потому и оставалось незамеченным?

epros в сообщении #345778 писал(а):

Да просто внимания никто не обращал.

И.Д.Новиков, В.П.Фомин. Физика чёрных дыр. Москва, "Наука", 1986.
§ 2.3. Радиальное движение пробных частиц в поле Шварцшильда.
А.Ф.Богородский. Уравнения поля Эйнштейна и их применение в астрономии. Изд-во Киевского ун-та, 1962.
Я не утверждаю, что до Богородского это было неизвестно. Наоборот, совершенно уверен, что знали об этом гораздо раньше.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345778 писал(а):

Это - частное решение.

Совершенно верно, Вы конечно же - правы. Наиболее общее решение имеет вид (Рябушко, стр.92):
$U^0=\frac{C_0}{1-\frac{r_g}{r}}$
$U^r=\sqrt{C_0^2-1+\frac{r_g}{r}}$
Co - произвольня константа.
И скажу Вам по секрету (только никому не говорите), что этих двух формул мне вполне достаточно, чтобы решилась следующая
Задача
Наблюдается скорость радиального движения (т.е. $V=\frac{dr}{dt}$) материальной точки, удаляющейся от черной дыры Шварцшильда. Сначала измеряется скорость $V_1$ в точке с координатой $r=N r_g$, затем скорость $V_2$ в точке с координатой $r=2 N r_g$. (N>1). Спрашивется, чему равно соотношение $\frac{V_2}{V_1}$, если $V_1=\frac{c}{\sqrt{3}}$.
Ответ:
$\frac{V_2}{V_1}=\sqrt{1+\frac{2N^2-1}{2(N-1)^3}}(\frac{2N-1}{2N})$
Подставляем ... (да чё мудрить) N=2
Тогда $\frac{V_2}{V_1}=\frac{9}{4\sqrt{2}}$
Ой, блин, что-то не то получилось. Как думаете?

-- Пн авг 23, 2010 15:36:42 --

Someone в сообщении #345792 писал(а):

Soshnikov_Serg в сообщении #345749 писал(а):

А может, всё это раньше потому и оставалось незамеченным?

epros в сообщении #345778 писал(а):

Да просто внимания никто не обращал.

И.Д.Новиков, В.П.Фомин. Физика чёрных дыр. Москва, "Наука", 1986.
§ 2.3. Радиальное движение пробных частиц в поле Шварцшильда.
А.Ф.Богородский. Уравнения поля Эйнштейна и их применение в астрономии. Изд-во Киевского ун-та, 1962.
Я не утверждаю, что до Богородского это было неизвестно. Наоборот, совершенно уверен, что знали об этом гораздо раньше.

Простите великодушно, посмотрел обе книжки, но ничего аналогичного своему подходу не нашел. По-моему, этого там и нет. Есть просто рассмотрение радиального движения. А еще лучше - страницу укажите (по второму источнику)

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #346463 писал(а):

Ой, блин, что-то не то получилось. Как думаете?

Начнём с тупого вопроса: Что именно "не то"?

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #346472 писал(а):

Начнём с тупого вопроса: Что именно "не то"?

Тело, брошенное вертикально вверх, должно уменьшать свою скорость. А она (скорость) - выросла.
Честно признаться, я от Вас ожидал услышать, что результат - "не то"

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #346487 писал(а):

Тело, брошенное вертикально вверх, должно уменьшать свою скорость. А она (скорость) - выросла.

$\frac{dr}{dt}$ - не скорость. На $N = 2$ это только полскорости.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #346551 писал(а):

$\frac{dr}{dt}$ - не скорость.

epros в сообщении #346551 писал(а):

На $N = 2$ это только полскорости.

[epros]

Чё смешного? $\frac{dl}{d\tau}=\frac{1}{1 - \frac{r_g}{r}} \frac{dr}{dt}$.
При $N=2$ получаем $1 - \frac{r_g}{r} = \frac{1}{2}$.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #346641 писал(а):

Чё смешного? $\frac{dl}{d\tau}=\frac{1}{1 - \frac{r_g}{r}} \frac{dr}{dt}$.
При $N=2$ получаем $1 - \frac{r_g}{r} = \frac{1}{2}$.

Замечательно. Считаем:
$(\frac{dl}{d\tau})_1=\frac{2}{\sqrt{3}}c$.
Для N=4 имеем: $1 - \frac{r_g}{r} = \frac{3}{4}$
Итого:
$(\frac{dl}{d\tau})_2=\frac{4}{3} \frac{c}{\sqrt{3}} \frac{9}{4\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{3}}c$
Окончательно:
$\frac{(\frac{dl}{d\tau})_2}{(\frac{dl}{d\tau})_1}=\frac{3}{2\sqrt{2}} > 1$

Так, с другой стороны. Попытаюсь порассуждать.
$\frac{dl}{d\tau}$ - это скорость объекта в той точке, в которой он находится в данный момент времени. Физически вроде как все корректно. Но ! $ds$ - понятно, из какого места вытаскивается, $dt$ - тоже ясно. $d\tau$ вот откуда можно вытащить? Вроде как ни то и не другое, что-то среднее. Не видел я уравнений движения с этой величиной. Вот где посмотреть, как с ней работать? И, кстати, при приближении к горизонту она ($\frac{dl}{d\tau}$) тоже должна обращаться в ноль?