Антигравитация? Да легко!..

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345132 писал(а):

Компоненты ускорения, зависимые от скорости, в данном случае значения не имеют, "направление" тяготения определяется не ими.

Я понял, кажется. Мы, по моему, просто о разных вещах говорим. Ну вот такая аналогия: понятно, что все тела притягиваются к Земле с ускорением g. Никакой антигравитации в принципе быть не может. А я-то о том. что можно в том же поле двигаться с постоянной скоростью, если, например, воспользоваться парашютом. Тогда уж давайте договариваться о значении самого термина "Антигравитация".
Кстати, полученая для ускорения формула как раз и прелестна тем, что нам не нужно смотреть на то, что там вблизи ЧД. Как раз интересна ситуация, когда $\frac{r_g}{r} << 1$ . Тогда формула принимает вид:
$\frac{dV}{dt}= - \frac{c^2}{2} \frac{r_g}{r^2} (1-3 \frac{V^2}{c^2})$

epros в сообщении #345132 писал(а):

$v = \frac{\sqrt{-g_{1 1}} \, dr}{\sqrt{g_{0 0}} \, dt}$
$a = \frac{dv}{\sqrt{g_{0 0}} \, dt}$

Такая вот шутка:
Давайте введем обозначения:
$dl=\sqrt{-g_{1 1}} dr$
$d \tau = \sqrt{g_{0 0}} dt$
Физический смысл введенных величин достаточно понятен. Тогда элемент действия
$dS=-mc^2 \sqrt{1-\frac{1}{c^2} (\frac{dl}{d \tau})^2} d \tau$
По-моему, гравитация - "спряталась"

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345314 писал(а):

Я понял, кажется. Мы, по моему, просто о разных вещах говорим. Ну вот такая аналогия: понятно, что все тела притягиваются к Земле с ускорением g. Никакой антигравитации в принципе быть не может. А я-то о том. что можно в том же поле двигаться с постоянной скоростью, если, например, воспользоваться парашютом. Тогда уж давайте договариваться о значении самого термина "Антигравитация".

Ну разумеется! Если принять, что антигравитация - это когда ускорение свободного падения направлено вверх, то для того, кто стоит на голове, на Земле существует антигравитация . Но договариваться о том, что антигравитацию всем следует понимать именно так, несколько странно.

Soshnikov_Serg в сообщении #345314 писал(а):

Кстати, полученая для ускорения формула как раз и прелестна тем, что нам не нужно смотреть на то, что там вблизи ЧД. Как раз интересна ситуация, когда $\frac{r_g}{r} << 1$ . Тогда формула принимает вид:
$\frac{dV}{dt}= - \frac{c^2}{2} \frac{r_g}{r^2} (1-3 \frac{V^2}{c^2})$

Ну разумеется, в зоне, далёкой от чёрной дыры, dt и dr имеют смысл именно промежутков времени и расстояний.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345331 писал(а):

Soshnikov_Serg в сообщении #345314 писал(а):

... ситуация, когда $\frac{r_g}{r} << 1$ . Тогда формула принимает вид:
$\frac{dV}{dt}= - \frac{c^2}{2} \frac{r_g}{r^2} (1-3 \frac{V^2}{c^2})$

Ну разумеется, в зоне, далёкой от чёрной дыры, dt и dr имеют смысл именно промежутков времени и расстояний.

а-а, выходит, сразу нужно было оговорить условие и написать формулу. А я-то подумал, что это и так очевидно.
И что теперь можно сказать про $V>\frac{c}{\sqrt{3}}$ ?

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345314 писал(а):

Такая вот шутка:
Давайте введем обозначения:
$dl=\sqrt{-g_{1 1}} dr$
$d \tau = \sqrt{g_{0 0}} dt$
Физический смысл введенных величин достаточно понятен. Тогда элемент действия
$dS=-mc^2 \sqrt{1-\frac{1}{c^2} (\frac{dl}{d \tau})^2} d \tau$
По-моему, гравитация - "спряталась"

Я сначала не обратил внимания... Такая штука не пройдёт, ибо $dl$ и $d\tau$ - это не координаты. Точнее, Вы можете применить такую замену координат, но это будет означать просто переход в другую СО: при этом компоненты тензора $g_{i j}$ тоже изменятся, т.е. координаты этой новой СО опять не будут иметь смысла расстояний и промежутков времени.

-- Чт авг 19, 2010 13:30:29 --

Soshnikov_Serg в сообщении #345362 писал(а):

И что теперь можно сказать про $V>\frac{c}{\sqrt{3}}$ ?

Честно говоря, внимательно не смотрел откуда у Вас там взялась тройка, но она явно неуместна. Зависимость ускорения от скорости - это нормальный релятивистский эффект (ускорение ультрарелятивистской частицы будет заведомо меньше ускорения покоящейся частицы), но знак ускорения изметиться не должен.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345363 писал(а):

Честно говоря, внимательно не смотрел откуда у Вас там взялась тройка

Вот она-то меня больше всего и беспокоит. Не было б ее, не было б и темы. А так - два раза проверял, вылазит, злыдня. Кроме того, именно тройка приводит к известным результатам при интегрировании уравнения (по Рябушко).
Кстати, там еще и знаменатель есть. Правда - это уже при малых r. Тогда - и тройка несущественна

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345377 писал(а):

epros в сообщении #345363 писал(а):

Честно говоря, внимательно не смотрел откуда у Вас там взялась тройка

Вот она-то меня больше всего и беспокоит. Не было б ее, не было б и темы. А так - два раза проверял, вылазит, злыдня. Кроме того, именно тройка приводит к известным результатам при интегрировании уравнения (по Рябушко).
Кстати, там еще и знаменатель есть. Правда - это уже при малых r. Тогда - и тройка несущественна

Я вот тупо беру связность для статической СО Шварцшильда и для радиально движущегося со скоростью $v$ объекта при $r >> r_g$ получаю:

$\frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{c^2}{2} \frac{r_g}{r^2} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

[epros]

Кстати, откуда Вы взяли формулу для Лагранжиана? Насколько я знаю, действие для свободного движения выражается через интервал $\int ds$: Решением является мировая линия, максимизирующая оный, то бишь - геодезическая.

Хм, вот мой вариант:

$L=-m c^2 \sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2} (1-\frac{r_g}{r})^{-1}}$
где $V=\frac{dr}{dt}$

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345457 писал(а):

мой вариант:

Да поторопился, а потом исправить не смог. Посмотрите мое второе сообщение

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345466 писал(а):

Да поторопился, а потом исправить не смог. Посмотрите мое второе сообщение

И из него тоже тройка вылазит? Не может быть... Должно получиться уравнение геодезической. В нём, конечно, в координатах $r$ и $t$ есть перегиб (иначе и быть не может, ибо в этих координатах падающий объект навсегда замирает над горизонтом событий), но в зоне $r >> r_g$ ни при каких скоростях изменения знака ускорения быть не должно.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345505 писал(а):

И из него тоже тройка вылазит? Не может быть...

Вот как раз из него-то и вылазит. Неужели так трудно проверить? Ну, поручите какому-нибудь студенту. Делов-то - на полчаса, не больше. И ради Бога, будьте пожалуйста повнимательней.
А что до уравнения геодезической - так это просто. Проинтегрируйте это уравнение - получите известный результат. Я, кстати, уже писал об этом.

[epros]

У меня получается такое уравнение геодезической:

$\frac{d^2 r}{dt^2}=-\frac{r_g c^2}{2 r^2} [(1-\frac{r_g}{r})-\frac{V^2}{c^2} (1-\frac{r_g}{r})^{-1}]$

где $V=\frac{dr}{dt}$

(с корнем я раньше, похоже, погорячился).

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345552 писал(а):

У меня получается
$\frac{d^2 r}{dt^2}=-\frac{r_g c^2}{2 r^2} [(1-\frac{r_g}{r})-\frac{V^2}{c^2} (1-\frac{r_g}{r})^{-1}]$

1. Ну, даже если и так, всё-равно видно области $V$ и $r$, где ускорение может быть отрицательным.
2. Проверил еще раз - есть там тройка. Я не могу судить о том, как Вы получали это уравнение. Может просто взяли уравнение для производной 4-скорости по собственному времени и заменили просто $\tau$ на $t$ в левой части. Я получал прямо из лагранжиана. Ладно, постараюсь за выходные на латехе вывод набрать. Потом выложу в сообщение. Чую, всё-равно пригодится.
3. А давайте проверим Ваш результат. Найдите из своего уравнения скорость V. Что у Вас получится?

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345602 писал(а):

1. Ну, даже если и так, всё-равно видно области $V$ и $r$, где ускорение может быть отрицательным.

Разумеется в этих координатах они есть, я с этого начал: это эффект "кажущегося" торможения всех процессов над горизонтом, являющийся следствием процедуры синхронизации (с помощью которой строятся данные координаты). Чтобы это понять, не нужно решать никаких уравнений, достаточно общих соображений. Но это всего лишь эффект, видимый удалённым наблюдателем. Реальная скорость при приближении к горизонту стремится не к нулю, а к скорости света, а реальное ускорение всегда направлено в сторону чёрной дыры.

Посмотрите, например, на астронете.

Soshnikov_Serg в сообщении #345602 писал(а):

Может просто взяли уравнение для производной 4-скорости по собственному времени и заменили просто $\tau$ на $t$ в левой части. Я получал прямо из лагранжиана.

В смысле? "Уравнение для производной 4-скорости по собственному времени" - это Вы имели в виду уравнение геодезической:
$\frac{du^i}{ds} + \Gamma^i_{j k} u^j u^k = 0$ ?
Так его можно и по-другому записать, без 4-скорости и собственного времени:
$d^2 x^i + \Gamma^i_{j k} dx^j dx^k = 0$
А можно поделить это на $dt^2$ и прямо записать уравнение для той координаты $r$, которая Вас интересует:
$\frac{d^2 r}{dt^2} + \Gamma^1_{j k} \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0$

В любом случае, это то самое уравнение, которое получается минимизацией действия $-mc^2 \int ds$. Если у Вас получается что-то другое, значит Вы точно где-то ошиблись.

Soshnikov_Serg в сообщении #345602 писал(а):

3. А давайте проверим Ваш результат. Найдите из своего уравнения скорость V. Что у Вас получится?

В смысле? Решить этот дифур и найти $V$ как функцию $t$? Насколько я помню, у него нет аналитического решения.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345616 писал(а):

это эффект "кажущегося" торможения всех процессов над горизонтом

Ну мы вроде как договорились перебраться куда-нибудь подальше от горизонта

epros в сообщении #345616 писал(а):

Так его можно и по-другому записать, без 4-скорости и собственного времени:
$d^2 x^i + \Gamma^i_{j k} dx^j dx^k = 0$
А можно поделить это на $dt^2$ и прямо записать уравнение для той координаты $r$, которая Вас интересует:
$\frac{d^2 r}{dt^2} + \Gamma^1_{j k} \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0$

Лихо, никогда так не приходилось общаться с дифференциалами.

epros в сообщении #345616 писал(а):

В смысле? Решить этот дифур и найти $V$ как функцию $t$?

Нет, Решить этот дифур и найти $V$ как функцию $r$. Если Вы все правильно сделали, тогда у Вас должна получиться та самая формула, которая и приведена для $\frac{dr}{dt}$ если смотреть в астронете по Вашей ссылке.
$\frac{dr}{dt}=Const \sqrt{\frac{r_g}{r}}(1-\frac{r_g}{r})$
А теперь я готов предложить для проверки свой вывод:

Итак, функция Лагранжа имеет вид:
$L=-\sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}$
Получаем уравнение движения:
$\frac{d}{dt}(\frac{\frac{V}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}})=\frac{1}{2}\frac{-\frac{r_g}{r^2}+\frac{V^2}{c^2}(-1)(1-\frac{r_g}{r})^{-2} \frac{r_g}{r^2}}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}}$
Дифференцируем левую часть:
$\frac{\frac{1}{c^2}\frac{dV}{dt}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}+\frac{V}{c^2}(-1)(1-\frac{r_g}{r})^{-2} \frac{r_g}{r^2}V}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}}-\frac{1}{2}\frac{\frac{V}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}(\frac{r_g}{r^2}V-2\frac{V}{c^2}\frac{dV}{dt}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}-\frac{V^2}{c^2}(-1)(1-\frac{r_g}{r})^{-2}\frac{r_g}{r^2}V)}{(\sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}})^3}=$

$=-\frac{1}{2}\frac{\frac{r_g}{r^2}+\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-2} \frac{r_g}{r^2}}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}}$
Сокращаем на один корень, все, что связано с ускорением, оставляем в левой части, остальное переносим в правую
$\frac{1}{c^2}\frac{dV}{dt}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}(1+\frac{\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}})=$

$=-\frac{1}{2}\frac{r_g}{r^2}+\frac{1}{2}\frac{r_g}{r^2}\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-2}+\frac{1}{2}\frac{\frac{r_g}{r^2}\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}+\frac{r_g}{r^2}\frac{V^4}{c^4}(1-\frac{r_g}{r})^{-3}}{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}(1-\frac{r_g}{r})^{-1}}$
Ну, собственно, тройка уже видна. Осталось привести к общему знаменателю и выкинуть все лишнее

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345632 писал(а):

epros в сообщении #345616 писал(а):

это эффект "кажущегося" торможения всех процессов над горизонтом

Ну мы вроде как договорились перебраться куда-нибудь подальше от горизонта

Подальше от горизонта - это значит $\frac{r_g}{r} \to 0$, т.е.:
$\frac{d^2 r}{dt^2}=-\frac{r_g c^2}{2 r^2} [1 - \frac{V^2}{c^2}]$

Изменения знака ускорения не наблюдается.

Soshnikov_Serg в сообщении #345632 писал(а):

epros в сообщении #345616 писал(а):

Так его можно и по-другому записать, без 4-скорости и собственного времени:
$d^2 x^i + \Gamma^i_{j k} dx^j dx^k = 0$
А можно поделить это на $dt^2$ и прямо записать уравнение для той координаты $r$, которая Вас интересует:
$\frac{d^2 r}{dt^2} + \Gamma^1_{j k} \frac{dx^j}{dt} \frac{dx^k}{dt} = 0$

Лихо, никогда так не приходилось общаться с дифференциалами.

Правильно, и не обращайтесь так никогда . Но дело в том, что эта система статическая, т.е. метрика не зависит от времени. А это значит, что $\frac{d^2 s}{dt^2} = 0$, так что при переходе от переменной $s$ к переменной $t$ из второй производной не вылезет никаких лишних членов.

Ваше решение посмотрю попозже, сейчас недосуг...