Задача на давление

[pronix]

Здраствуйте уважаемые форумчане-физики. Помогите решить задачу. Не обходимо определить зависимоть силы, с которой тело массой m давит на поршень площадью S от скорости "спуска" поршня и времени, за которое поршень достигнет дна. Площадь отверстия на дне равна Sот. См. рисунок.

P.S. Я не прошу решить задачу, натолкните меня на мысль, в каком направлении двигаться, какие законы рассматривать или укажите методичку (книгу), где есть разбор задач подобного типа. Также понимаю, что условия заданы растянуто (т.е. тут ещё есть зависимость от материала поршня и цилиндра, температуры воздуха и др), но пока хочу разобраться в тривиальном случае. Заранее спасибо.
P.P.S. На рисунке сила изображена как скалярная величина, что не есть правильно, просто рисовал на скорую руку)

[_hum_]

Ну, первым делом, наверное, стоит попробовать использовать закон Бернулли.

[pronix]

Не густо, не густо. То, что нужно использовать закон Бернулли я тоже думал, но как. Я вод рассматривал задачи из курса пневматики. Так там рассматривались 2 типа задач:1)когда газ выходит из сосуда бесконечно большого объёма; 2) газ выходит из сосуда ограниченного объёма (V), но V=const. И в первом, и во втором случае не использовался закон Бернулли. Подскажите, как его можно применить к этой задаче. Я не просил решение, но ведь можно более содержательно подсказывать, на то это и форум. В противном случае мог бы и погуглить по закону Бернулли, но что мне это даст, если я пока не совсем связь улавливаю.
P.S. Может кто решал задачи подобного типа, киньте ссылку на литературу, почитаю.

[Архипов]

Если задача практическая, то и решить ее можно практически, то есть экспериментальным путем. Берете конкретный цилиндр с поршнем, конкретный груз, конкретное отверстие и измеряете время опускания поршня на конкретном смещении. Это будет достоверный результат. Поршень ведь не идеальный (манжета поршня имеет конкретную силу трения).

[pronix]

Архипов, наверное, так и буду делать, потому что теоретически пока не получается решить задачу. Задача практическая, масса груза известна, да и материал можно подобрать, только не хочется наугад сверлить отверстия в цилиндре...что же это за решение, если мне придётся подгонять эмпирическим путём диаметр отверстия под определённое время спуска поршня. Я так говорю, потому что это тривиальный пример, на практике же есть ещё боковые отверстия, а так экспериментировать - это немалая затрата времени и денег.

[Zai]

Сложного здесь ничего нет - более сложные такого рода расчеты выполняются для двухкамерных амортизаторов шасси самолета.
По весу груза и площади поршня находите давление в камере
$p=\frac {mg} S$
Скорость истечения масла из камеры дается соотношением
$p= \xi \rho \frac {v^2} 2$
\xi возьмите из справочника по гидравлическим сопротивлениям отверстий
$v=\sqrt { \frac {2p} {\xi \rho }}$
Расход через отверстие
$Q=vS_{otv}$
Время опускания - делите объем камеры на расход через отверстие $Q$

[pronix]

Zai, спасибо большое, решение и в правду элементарное.

[_hum_]

pronix в сообщении #345592 писал(а):

Не густо, не густо. То, что нужно использовать закон Бернулли я тоже думал, но как. [...] Подскажите, как его можно применить к этой задаче.

Ну я бы делал что-нить наподобие следующего.
Возьмем два сечения: 1 - по поверхности, 2 - по отверстию. Тогда, считая, что условия идеальные, и можно применить закон Бернулли, запишем:

$$ \dfrac{v_1^2}{2g} + h + \dfrac{P_1}{\gamma} = \dfrac{v_2^2}{2g} + \dfrac{P_2}{\gamma}\quad (1), $$

где $\gamma = \rho g$. С учетом того, что жидкость несжимаема, и значит, $S_1 v_1 = S_2 v_2$, где $S_1,S_2$ - площади сечений, из (1) получаем

$$ \dfrac{v_2^2}{2g}(1-r^2) = h + \dfrac{P_1 - P_2}{\gamma}\quad (2),$$

где $r = S_2/S_1$. Полагая, что $P_1,P_2, r$ - неизменны, и дифференцируя по времени (2), с учетом соотношения $dh = -v_1 dt = -r v_2 dt$, получаем дифференциальное уравнение:

$$\dfrac{dv_2}{g}(1-r^2) = -r dt, \quad v_2(0) = \bigg(\dfrac{2g}{1-r^2}\Big(h(0) + \dfrac{P_1 - P_2}{\gamma}\Big)\bigg)^{1/2}.$$

Откуда

$$v_2(t) = -g \dfrac{r}{1-r^2}\,t + v_2(0).$$

$$h(t) = g \dfrac{r^2}{1-r^2}\,\dfrac{t^2}{2} - r v_2(0) t + h(0).$$

Как-то так...

[pronix]

_hum_ , спасибо, но ведь есть одно но(!), в сосуде не жидкость, а газ и он сжимаем,поэтому, как я понимаю, решение, предоставленное вами не подходит .

[_hum_]

pronix в сообщении #345740 писал(а):

_hum_ , спасибо, но ведь есть одно но(!), в сосуде не жидкость, а газ и он сжимаем,поэтому, как я понимаю, решение, предоставленное вами не подходит .

Ну, тогда, наверное, стоит попытаться использовать вариант закона Бернулли для идеального газа и попробовать провести аналогичные расчеты.

[_hum_]

Не уверен, но наверное можно попытаться воспользоваться законом Бернулли для сжимаемой баротропной среды:

если движение среды установившееся, внешние силы потенциальны, а среда баротропна с уравнением состояния $P = \Phi(\rho)$, то имеет место интеграл Бернулли вдоль каждой линии тока

$$ \dfrac{v^2}{2} + \int \dfrac{dP}{\Phi^{-1}(P)} + U = const, $$

где $U$ -- потенциал силового поля (Вильке В.Г. "Теоретическая механика").

В вашем случае, если считать, что элементарные объемы газа подвергаются сжатию только непосредственно перед выходом из цилиндра, то в силу скоротечности этого процесса можно допустить, что сжатие будет адиабатическим, и, таким образом, попытаться рассмотреть движение газа как баротропную среду, с уравнением состояния: $P\rho^{-\gamma} = P_0\rho_0^{-\gamma}$, где $\gamma$ -- показатель адиабаты, $P_0, \rho_0$ -- давление и плотность до начала процесса. Тогда, с учетом того, что $\rho = C P^{1/\gamma}$, где $C = P_0^{-1/\gamma}\rho_0$, закон Бернулли примет вид:

$$ \dfrac{v^2}{2} + \dfrac{1}{C}\dfrac{1}{1-1/\gamma}P^{1-1/\gamma} + U = const. $$

Пренебрегая полем силы тяжести и рассматривая, как и ранее, два сечения - одно у поршня, другое у отверстия, получаем

$$ \dfrac{v_1^2}{2} + \dfrac{1}{C} \dfrac{1}{1-1/\gamma}P_1^{1-1/\gamma }= \dfrac{v_2^2}{2} + \dfrac{1}{C} \dfrac{1}{1-1/\gamma}P_2^{1-1/\gamma},\quad (1) $$

Уравнение непрерывности (сохранение массы)

$$ v_1 \rho_1 S_1 = v_2\rho_2 S_2,\quad \text{ или }\quad v_1 P_1^{1/\gamma} S_1 = v_2 P_2^{1/\gamma} S_2. \quad (2) $$

Из (1), (2) скорость истечения

$$ v_2 = \left(\dfrac{2}{C}\dfrac{1}{1-1/\gamma}\dfrac{P_1^{1-1/\gamma } - P_2^{1-1/\gamma}}{1 - r^2\left(\dfrac{P_2^{1/\gamma}}{P_1^{1/\gamma}}\right)^2}\right)^{1/2}, $$

расход массы в единицу времени

$$R = v_2\rho_2 S_2 = v_2 C P_2^{1/\gamma}S_2.$$

Как-то так...
(За выкладки не уверен, отдельно не проверял.)