Антигравитация? Да легко!..

[Soshnikov_Serg]

Получил формулу, и сам понял, что чего-то не понимаю.

Что такое Антигравитация?

Википедия:

"Антигравитация — термин, используемый преимущественно в научной фантастике. Может обозначать множество понятий — от экранирования гравитации до гравитационного отталкивания тел." И далее:
"Обычно под антигравитацией понимают явление, противоположное гравитации небесных тел. То есть особый вид поля, который по свойствам противоположен гравитации, к примеру, планеты Земля."

Да уж... По моему недалекому разумению Антигравитация - это ситуация, когда гравитирующее тело придает другому, пробному телу, ускорение, направленое в сторону от гравитирующего центра. Ну например:
А.П. Рябушко, Движение тел в ОТО, Минск, 1979, стр. 94
Если тело из бесконечности радиально приближается к черной дыре Шварцшильда, то для удаленного наблюдателя его скорость определяется формулой:
$\frac{dl}{dt}=+/- с \sqrt{\frac{r_g}{r}(1-\frac{r_g}{r})}$
Видно, что есть области, где скорость увеличивается, и где - уменьшается. Антигравитация? Проверим...

Будем рассматривать чисто радиальное движение в поле Шварцшильда. Функция Лагранжа в этом случае имеет вид:
$L=-m c^2 \sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}}$
где $V=\frac{dr}{dt}$
Далее, получаем уравнения движения, крутим-вертим-упрощаем и окончательно находим:
$\frac{dV}{dt}=- \frac{c^2}{2} \frac{r_g}{r^2} (1-\frac{r_g}{r}) (1-\frac{3 V^2}{c^2 (1-\frac{r_g}{r})^2})$
Выходит, что если радиальное движение совершается со скоростью $V> \frac{c}{\sqrt{3}}$, то ускорение поменяет знак. Согласитесь, не такая уж большая скорость для фантастических звездолетов.

[Soshnikov_Serg]

Soshnikov_Serg в сообщении #344706 писал(а):

Функция Лагранжа в этом случае имеет вид:
$L=-m c^2 \sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2}}$

Блин, неправильно лагранжиан написал...
Вот так же надо:
$L=-m c^2 \sqrt{1-\frac{r_g}{r}-\frac{V^2}{c^2 (1-\frac{r_g}{r})}}$

[epros]

В Шварцшильдовской чёрной дыре (и в белой дыре тоже) антигравитации нет, Вы просто некорректно определяете ускорение (как производную по временной координате статической СО, а нужно - как производную по локальному времени). Но в других решениях ОТО может быть антигравитация. Например, в решении для чёрной дыры Керра есть область антигравитации (правда она упрятана под горизонтами). Или в запредельной чёрной дыре Райснера-Нордстрёма в ближней окрестности есть антигравитация, причём эта окрестность не упрятана под горизонтами (правда само запредельное решение Райсснера-Нордстрёма считается физически нереализуемым - отчасти по причине этой самой зоны антигравитации, которая не позволит веществу сколлапсировать). Но пожалуй ещё более интересным примером является недавно открытая "темная энергия", которая является антигравитирующей формой материи (и более про её природу пока ничего не известно).

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #344828 писал(а):

Вы просто некорректно определяете ускорение (как производную по временной координате статической СО, а нужно - как производную по локальному времени).

Согласен, собственное время - это инвариант, с которого и следует начинать. Но с другой-то стороны...
Если я, например, в лаборатории отслеживаю пучок релятивистских электронов, я ж не бегаю за каждым, чтоб отследить его собственное время, а пересчитываю все на время по часам в лаборатории.
С другой строны, если я проинтегрирую полученное уравнение, то при соответствующем выборе констант интегрирования смогу прийти к уже известным результатам для той же скорости.
Ну и наконец, чтобы найти ту же метрику Шварцшильда, я все-равно в своих расчетах вынужден использовать "производную по временной координате статической СО"?

[myhand]

Soshnikov_Serg в сообщении #344850 писал(а):

epros в сообщении #344828 писал(а):

Вы просто некорректно определяете ускорение (как производную по временной координате статической СО, а нужно - как производную по локальному времени).

Согласен, собственное время - это инвариант, с которого и следует начинать. Но с другой-то стороны...

С другой-то стороны - Ваша "антигравитация" есть полностью координатный эффект, на чем вся "физика" и заканчивается. Не зря ведь умную вещь советовали... Вторая производная по координатному времени даже тензором не является, что как-бы намекает...

Д/з: записать шварцшильдовское решение в других формах (AFAIK разные выборы координат упомянуты даже в ЛЛ II) и посмотреть что останется от "эффекта".

PS: Под "локальным временем" я разумею собственное время. epros - это имелось в виду?

[epros]

Нет, локальное время - это не собственное, а $\sqrt{g_{00}} dt$. По смыслу: это промежуток времени, который натикает на часах, неподвижных относительно рассматриваемой (статической) СО и находящихся в момент измерения ускорения в точности там, где пролетает рассматриваемое тело.

[myhand]

т.е. собственное время покоящегося в данной СО наблюдателя, в указанной точке?

[epros]

myhand в сообщении #344889 писал(а):

т.е. собственное время покоящегося в данной СО наблюдателя, в указанной точке?

Да

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #344893 писал(а):

myhand в сообщении #344889 писал(а):

т.е. собственное время покоящегося в данной СО наблюдателя, в указанной точке?

Да

Стоп-стоп-стоп. Что-то я действительно упустил. С локальным временем. Что-то не припомню его использования для нахождения ускорения. И вообще его использования. Ну разве что при определении плотности токов. А можно поподробнее?

-- Вт авг 17, 2010 18:37:12 --

myhand в сообщении #344855 писал(а):

С другой-то стороны - Ваша "антигравитация" есть полностью координатный эффект, на чем вся "физика" и заканчивается. Не зря ведь умную вещь советовали... Вторая производная по координатному времени даже тензором не является, что как-бы намекает...

Так эффект все-таки есть? А тремерная скорость - Тензор? А вот то, что у Рябушко получено - тоже чисто координатное?

myhand в сообщении #344855 писал(а):

Д/з: записать шварцшильдовское решение в других формах (AFAIK разные выборы координат упомянуты даже в ЛЛ II) и посмотреть что останется от "эффекта".

Хорошая идея, нужно попробовать.

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #344898 писал(а):

Стоп-стоп-стоп. Что-то я действительно упустил. С локальным временем. Что-то не припомню его использования для нахождения ускорения. И вообще его использования. Ну разве что при определении плотности токов. А можно поподробнее?

Всё очень просто: ускорение - это вторая производная пройденного расстояния по времени (относительно покоящего в рассматриваемой точке наблюдателя, как верно заметил myhand). A t - это не время, а просто времени-подобная координата. Рассматриваемую Вами вторую производную по t конечно же можно посчитать и даже в каком-то смысле её можно назвать "ускорением" (в том смысле, что она характеризует "видимое" удалённым наблюдателем ускорение), но собственно ускорением свободного падения она не является, а стало быть "гравитацию" или "антигравитацию" никоим образом не характеризует.

Кстати, сам Ваш вывод относительно того, что падающий объект с некоторого момента начинает "замедляться", зависим от выбора начальных условий: Если Вы из некой точки, в которой первое запущенное Вами тело вовсю уже "замедляется", запустите в свободное падение с нулевой начальной скоростью второе тело, то оно начнёт ускоряться в направлении к чёрной дыре. Какая же тут антигравитация?

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #344919 писал(а):

запустите в свободное падение с нулевой начальной скоростью второе тело, то оно начнёт ускоряться в направлении к чёрной дыре. Какая же тут антигравитация?

Так, собственно, в этом-то прикол и состоит. Бог с ним, с первым телом (пусть пока с ним все ясно). Давайте рассмотрим второе тело. Пусть изначально оно находится в точке с координатой $r_0$.
Та же книжка Рябушко, стр. 92 (Лень лишнее выводить). Радиальная скорость тогда, конечно же будет направлена в сторону ЧД и задается формулой:
$\frac{dr}{dt}=\frac{c}{1-\frac{r_g}{r_0}}(1-\frac{r_g}{r})\sqrt{\frac{r_g}{r}-\frac{r_g}{r_0}}$
Ну и что ж мы видим? Достигнув точки $r=\frac{3 r_g}{1+2 \frac{r_g}{r_0}}$ , т.е. набрав приличную скорость, тело начинает замедляться.

[Soshnikov_Serg]

Soshnikov_Serg в сообщении #345019 писал(а):

$\frac{dr}{dt}=\frac{c}{1-\frac{r_g}{r_0}}(1-\frac{r_g}{r})\sqrt{\frac{r_g}{r}-\frac{r_g}{r_0}}$

Опять поторопился
$\frac{dr}{dt}=\frac{c}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}}(1-\frac{r_g}{r})\sqrt{\frac{r_g}{r}-\frac{r_g}{r_0}}$
Кстати, если проинтегрировать полученную мною формулу для ускорения, то результат можно получить тот же

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345019 писал(а):

Ну и что ж мы видим? Достигнув точки $r=\frac{3 r_g}{1+2 \frac{r_g}{r_0}}$ , т.е. набрав приличную скорость, тело начинает замедляться.

Я не понимаю что Вы так зациклились на этом чисто координатном эффекте? Его суть состоит всего лишь в том, что когда тело достаточно близко к горизонту событий, исходящий от него сигнал (в том числе и тот сигнал, с помощью которого мы синхронизируем часы) начинает испытывать существенную задержку. Поэтому удалённый наблюдатель видит существенное замедление хода часов на падающем теле, в частности "видимая" скорость становится существенно меньше реальной (а реальная, напоминаю, - это относительно локального неподвижного наблюдателя).

Если Вы хотите посмотреть, куда направлена гравитация (т.е. "анти" она или нет), то посмотрите на компонеты $\Gamma^{\alpha}_{0 0}$ символов Кристоффеля - они соответствуют (с точностью до положительных поправочных коэффициентов) трём компонентам ускорения свободного падения для тела с нулевой начальной скоростью. Вы увидите, что этот "трёхмерный вектор" всегда направлен в сторону чёрной дыры.

[Soshnikov_Serg]

epros в сообщении #345042 писал(а):

Я не понимаю что Вы так зациклились на этом чисто координатном эффекте?

Ну потому пока и зациклился, что не могу для себя сформулировать достаточно четко, куда и как нужно смотреть, чтобы понять, что же на самом деле происходить. Ну в частности:

epros в сообщении #345042 писал(а):

Его суть состоит всего лишь в том, что когда тело достаточно близко к горизонту событий, исходящий от него сигнал начинает испытывать существенную задержку.

Когда я писал ф-цию Лагранжа, составлял уравнения движения, получал формулу для ускорения, я и не предполагал, что в них "зашиты" эти самые сигналы. Я был уверен, что просто делаю чистую математику. А разве не так мы решаем все остальные задачи? Или еще:

epros в сообщении #345042 писал(а):

(в том числе и тот сигнал, с помощью которого мы синхронизируем часы)

Я тоже с трудом представляю себе, как можно синхронизировать часы, которые в каждой точке просранства идут по-разному: $d\tau = \sqrt{g_{00}}dt$Если же смотреть на

epros в сообщении #345042 писал(а):

на компонеты $\Gamma^{\alpha}_{0 0}$ символов Кристоффеля

то нужно помнить и об $\Gamma^{\alpha}_{r r}$, которые при нулевой начальной скорости никакого значения не имеют.
А могу я к Вам вот с какой просьбой обратиться. Выше я уже обращвлся с просьбой поподробнее пояснить о локальном времени. Вот такое Ваше предложение

epros в сообщении #345042 писал(а):

Поэтому удалённый наблюдатель видит существенное замедление хода часов на падающем теле, в частности "видимая" скорость становится существенно меньше реальной (а реальная, напоминаю, - это относительно локального неподижного наблюдателя).

можно превратить в математические символы (мне так просто будет понятнее)? Потому что у меня получается буквально следующее:
$\frac{dr}{d\tau}=\frac{dr}{ \sqrt{g_{00}}dt}$
а тут - не замедление, а сокращение времени.

[epros]

Soshnikov_Serg в сообщении #345052 писал(а):

я и не предполагал, что в них "зашиты" эти самые сигналы

Процедура синхронизации "зашита" в понятии одновременности для рассматриваемой СО. Допустим, что мы рассматриваем два "момента времени" - $t = t_0$ и $t = t_0 + dt$ - в разных точках пространства (скажем $A$ и $B$). Назовём для удобства первый момент "началом отсчёта", а второй момент "окончанием отсчёта". А почему мы, собственно, должны прийти к мысли, что момент "начала отсчёта" для точки $A$ совпадает с моментом "начала отсчёта" для точки $B$? И, аналогично, почему момент "окончания отсчёта" для точки $A$ совпадает с моментом "окончания отсчёта" для точки $B$? Т.е. почему соответстующие события должны считаться одновременными? Да потому, что координата $t$ определена с использованием некой процедуры синхронизации: Мы взяли некие эталонные часы и путём обмена сигналов с ними установили, какие значения должна иметь координата $t$ в той точке, где мы находимся. И так для всех точек.

Soshnikov_Serg в сообщении #345052 писал(а):

Я тоже с трудом представляю себе, как можно синхронизировать часы, которые в каждой точке просранства идут по-разному

Синхронизировать - это не значит заставить часы идти с другой скоростью. Это значит определить понятие "одновременности" для событий. Местные часы идут со скоростью $d\tau = \sqrt{g_{0 0}} \, dt$, т.е. не так, как меняется временная координата событий. Только там, где $g_{0 0} = 1$ (т.е. достаточно далеко от чёрной дыры) показания часов могут совпадать с временной координатой.

Soshnikov_Serg в сообщении #345052 писал(а):

нужно помнить и об $\Gamma^{\alpha}_{r r}$, которые при нулевой начальной скорости никакого значения не имеют

Компоненты ускорения, зависимые от скорости, в данном случае значения не имеют, "направление" тяготения определяется не ими.

Soshnikov_Serg в сообщении #345052 писал(а):

у меня получается буквально следующее:
$\frac{dr}{d\tau}=\frac{dr}{ \sqrt{g_{00}} \, dt}$
а тут - не замедление, а сокращение времени

Вообще-то $dr$ - это тоже не расстояние, а координатный промежуток. Вы же не посчитаете $d\varphi$ за расстояние? Оно и по размерности не совпадает .
$v = \frac{\sqrt{-g_{1 1}} \, dr}{\sqrt{g_{0 0}} \, dt}$
$a = \frac{dv}{\sqrt{g_{0 0}} \, dt}$