Столкнулся с проблемой доказать неравенство:
![$$\dfrac{k^{x-k}\left(\ln\ln x\right)^x}{x^{x-k}\,k!}\leqslant 1,$$ $$\dfrac{k^{x-k}\left(\ln\ln x\right)^x}{x^{x-k}\,k!}\leqslant 1,$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/0/3a063318a6832cb16f3f288cb1a8819182.png)
где
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-- натуральное число, которое не превосходит
![$\dfrac x2,$ $\dfrac x2,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/9/0697f23ef4f26a2d3eee9b0711b2e59982.png)
a
![$x>16$ $x>16$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/6/f46df4c21f7317d20dc5edcebc20583382.png)
-- тоже целое (вообще говоря, необязательно). Проверяя численно, можно убедится в том, что максимум по возможным
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
функции в левой части неравенства убывает по
![$x,$ $x,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/380aab7befb490c9e8b8027e557ed54582.png)
но доказать этот факт аналитически не получается, хотя этот максимум уже при
![$L=342$ $L=342$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/8/5c808555ffc2fe2ef402e24a131608c182.png)
имеет порядок
![$10^{-200}.$ $10^{-200}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/1/ce1c6d75952eee7cf61169ee2e17b71a82.png)
Что интересно, что если вместо
![$\ln\ln x$ $\ln\ln x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/1/a31f56c923c9a151f8ed8710b3b65f8c82.png)
взять
![$\ln x,$ $\ln x,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/e/0de98781e89b791e594b369586669a9982.png)
то неравенство уже будет неверным и вышеописанный максимум растет.
Эта проблема чем-то схожа с тем, что я спрашивал в
http://dxdy.ru/topic32155.html.
Я пробовал считать производную, но повторный логарифм сильно портит, пробовал доказывать спад вышеуказанного максимума по индукции, но в этом случае нужно знать сам максимум, ибо если рассмотреть значение функции при фиксированном
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(а потом при
![$x+1,$ $x+1,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/1/9a19d38dd3fd8eba1c3d522b02e5bcd382.png)
и т.д.), то оно, как мне кажется, не при всех
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
убывает по
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(но при этом максимум убывает).