Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник

[Sasha2]

Вот так с ходу непонятно, существует ли такая кривая, в которую можно вписать квадрат, но никакой равносторонний треугольник уже нельзя.
Интересует просто результат. Кривую можно считать, сколько угодно раз дифференцируемой.

[AD]

Sasha2, нууу ... Сколько можно уже ...
Научитесь давать темам нормальные названия, то есть отражающее содержимое темы, а не степень Вашего любопытства. Читатели и потенциальные помощники тратят лишние силы, лишнее время, чтобы поинтересоваться, по их теме это или не по их. Придумайте что-нибудь, пожалуйста. Предупреждение

[Sonic86]

А в астроиду можно правильный треугольник вписать?

[Sonic86]

Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:

$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$

[mihailm]

Sonic86 в сообщении #344710 писал(а):

Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:

$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$

Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов


Гипотеза:
Техника нахождения треугольника такая - крутим угол в 60 градусов, где вершина угла в вершине квадрата

[Sonic86]

mihailm писал(а):

Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов

не понял! но ведь тогда треугольник не лежит внутри ломаной $P_1...P_8$? Или я что-то не понял?

-- Вт авг 17, 2010 10:07:22 --

забыл сказать: $a$ велико Over 9000

[arqady]

Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).

[mihailm]

arqady в сообщении #344798 писал(а):

Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).

Так ломаную то можно построить, если f и g бесконечно дифференцируемы, вот если аналитические то как я понимаю нет

-- Вт авг 17, 2010 10:40:02 --

Sonic86 в сообщении #344794 писал(а):

mihailm писал(а):

Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов

не понял! но ведь тогда треугольник не лежит внутри ломаной $P_1...P_8$? Или я что-то не понял?

-- Вт авг 17, 2010 10:07:22 --

забыл сказать: $a$ велико Over 9000

Теперь я не понял, зачем треугольнику лежать внутри ломаной? его вершины должны лежать на ломаной, и все получается независимо от величины a

[Sonic86]

arqady писал(а):

Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).

а вроде бы топикстартер сказал

Sasha2 писал(а):

Кривую можно считать, сколько угодно раз дифференцируемой.

"можно" ведь, не "нужно" говорит. Если нужна сколь угодно дифференцируемая кривая, то да - мой пример не подходит

mihailm писал(а):

Теперь я не понял, зачем треугольнику лежать внутри ломаной? его вершины должны лежать на ломаной, и все получается независимо от величины a

Наверное у меня глюки с пониманием терминологии. Я думал, что фраза

Sasha2 писал(а):

существует ли такая кривая, в которую можно вписать квадрат, но никакой равносторонний треугольник уже нельзя

подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$. Если это не так, то мой пример опять же не подходит.

[mihailm]

Sonic86 в сообщении #344831 писал(а):

...
подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$...

Пусть автор уточнит, что он хотел
И про гладкость что нить скажет,

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались

[alex1910]

mihailm в сообщении #344832 писал(а):

Sonic86 в сообщении #344831 писал(а):

...
подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$...

Пусть автор уточнит, что он хотел
И про гладкость что нить скажет,

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались

А это уже неверно - кривая остается гладкой при ортогональных преобразованиях. При этом устроить ноль производной вращением - как два байта переслать.

-- Вт авг 17, 2010 13:21:27 --
Здесь был дубль сообщения, наверняка случайный. Удалено /AKM

[mihailm]

alex1910 в сообщении #344837 писал(а):

А это уже неверно

что неверно?

[alex1910]

mihailm в сообщении #344851 писал(а):

alex1910 в сообщении #344837 писал(а):

А это уже неверно

что неверно?

Что имеет какое-то значение, обращаются производные в ноль или нет.
Так как обращение производной в ноль - свойство неинвариантное, негеометрическое - от выбора системы координат зависит.

[Sasha2]

Да вообщем то пример уважаемого Sonic86 все решает.
А диффренцируемость здесь была просто указана для того, чтобы никаких ограничений на кривую (ломанную) не налагалось.
Понятно, что скруглив углы из этого примера можно получить кривую дифференциреумой сколько угодно раз.

[sergey1]

Sonic86 в сообщении #344710 писал(а):

Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:

$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$

Если а велико, то из середины $P_1P_2$ восставим перпендикуляр до пересечения с $P_1P_8$ Это пересечение первая вершина, две другие на $P_1P_2$.

По-моему, квадрат вписывается в любую замкнутую кривую.
Действительно, http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159298&uri=node3.html

Цитата:

Свои самые замечательные результаты Шнирельман опубликовал в течение двух лет - 1929 и 1930. Вот их формулировки.

Теорема 1 (о вписанном квадрате). В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.

Точнее, можно найти 4 точки на кривой, служащие вершинами квадрата (если кривая ограничивает невыпуклую область, то квадрату разрешается вылезать из этой области). В работе Шнирельмана кривая предполагается достаточно гладкой. Когда цитируют теорему Шнирельмана, ее часто формулируют для произвольной непрерывной кривой. Авторам неизвестно, опубликовано ли где-нибудь доказательство для этого случая. В 1996 г. один из нас (В.В.Успенский) спросил знаменитого Пола Эрдеша, каков статус теоремы о вписанном квадрате в случае произвольной непрерывной кривой. Эрдеш ответил, что это открытая проблема.