2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение15.08.2010, 21:36 
Вот так с ходу непонятно, существует ли такая кривая, в которую можно вписать квадрат, но никакой равносторонний треугольник уже нельзя.
Интересует просто результат. Кривую можно считать, сколько угодно раз дифференцируемой.

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение16.08.2010, 14:44 
 !  Sasha2, нууу ... Сколько можно уже ... :roll:
Научитесь давать темам нормальные названия, то есть отражающее содержимое темы, а не степень Вашего любопытства. :wink: Читатели и потенциальные помощники тратят лишние силы, лишнее время, чтобы поинтересоваться, по их теме это или не по их. Придумайте что-нибудь, пожалуйста. Предупреждение :-(

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение16.08.2010, 14:45 
А в астроиду можно правильный треугольник вписать?

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 06:25 
Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:
$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 07:53 
Sonic86 в сообщении #344710 писал(а):
Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:
$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$


Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов


Гипотеза:
Техника нахождения треугольника такая - крутим угол в 60 градусов, где вершина угла в вершине квадрата

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 09:06 
mihailm писал(а):
Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов

не понял! :shock: но ведь тогда треугольник не лежит внутри ломаной $P_1...P_8$? Или я что-то не понял?

-- Вт авг 17, 2010 10:07:22 --

забыл сказать: $a$ велико Over 9000

 
 
 
 
Сообщение17.08.2010, 09:31 
Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).

 
 
 
 Re:
Сообщение17.08.2010, 09:37 
arqady в сообщении #344798 писал(а):
Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).


Так ломаную то можно построить, если f и g бесконечно дифференцируемы, вот если аналитические то как я понимаю нет

-- Вт авг 17, 2010 10:40:02 --

Sonic86 в сообщении #344794 писал(а):
mihailm писал(а):
Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов

не понял! :shock: но ведь тогда треугольник не лежит внутри ломаной $P_1...P_8$? Или я что-то не понял?

-- Вт авг 17, 2010 10:07:22 --

забыл сказать: $a$ велико Over 9000


Теперь я не понял, зачем треугольнику лежать внутри ломаной? его вершины должны лежать на ломаной, и все получается независимо от величины a

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 11:52 
arqady писал(а):
Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).

а вроде бы топикстартер сказал
Sasha2 писал(а):
Кривую можно считать, сколько угодно раз дифференцируемой.

"можно" ведь, не "нужно" говорит. Если нужна сколь угодно дифференцируемая кривая, то да - мой пример не подходит

mihailm писал(а):
Теперь я не понял, зачем треугольнику лежать внутри ломаной? его вершины должны лежать на ломаной, и все получается независимо от величины a

Наверное у меня глюки с пониманием терминологии. Я думал, что фраза
Sasha2 писал(а):
существует ли такая кривая, в которую можно вписать квадрат, но никакой равносторонний треугольник уже нельзя

подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$. Если это не так, то мой пример опять же не подходит.

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 12:01 
Sonic86 в сообщении #344831 писал(а):
...
подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$...


Пусть автор уточнит, что он хотел
И про гладкость что нить скажет,

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 12:20 
mihailm в сообщении #344832 писал(а):
Sonic86 в сообщении #344831 писал(а):
...
подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$...


Пусть автор уточнит, что он хотел
И про гладкость что нить скажет,

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались


А это уже неверно - кривая остается гладкой при ортогональных преобразованиях. При этом устроить ноль производной вращением - как два байта переслать.

-- Вт авг 17, 2010 13:21:27 --
Здесь был дубль сообщения, наверняка случайный. Удалено /AKM

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 13:00 
alex1910 в сообщении #344837 писал(а):
А это уже неверно


что неверно?

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 13:39 
mihailm в сообщении #344851 писал(а):
alex1910 в сообщении #344837 писал(а):
А это уже неверно


что неверно?


Что имеет какое-то значение, обращаются производные в ноль или нет.
Так как обращение производной в ноль - свойство неинвариантное, негеометрическое - от выбора системы координат зависит.

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 15:16 
Да вообщем то пример уважаемого Sonic86 все решает.
А диффренцируемость здесь была просто указана для того, чтобы никаких ограничений на кривую (ломанную) не налагалось.
Понятно, что скруглив углы из этого примера можно получить кривую дифференциреумой сколько угодно раз.

 
 
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 17:54 
Sonic86 в сообщении #344710 писал(а):
Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:
$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$


Если а велико, то из середины $P_1P_2$ восставим перпендикуляр до пересечения с $P_1P_8$ Это пересечение первая вершина, две другие на $P_1P_2$.

По-моему, квадрат вписывается в любую замкнутую кривую.
Действительно, http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159298&uri=node3.html

Цитата:
Свои самые замечательные результаты Шнирельман опубликовал в течение двух лет - 1929 и 1930. Вот их формулировки.

Теорема 1 (о вписанном квадрате). В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.

Точнее, можно найти 4 точки на кривой, служащие вершинами квадрата (если кривая ограничивает невыпуклую область, то квадрату разрешается вылезать из этой области). В работе Шнирельмана кривая предполагается достаточно гладкой. Когда цитируют теорему Шнирельмана, ее часто формулируют для произвольной непрерывной кривой. Авторам неизвестно, опубликовано ли где-нибудь доказательство для этого случая. В 1996 г. один из нас (В.В.Успенский) спросил знаменитого Пола Эрдеша, каков статус теоремы о вписанном квадрате в случае произвольной непрерывной кривой. Эрдеш ответил, что это открытая проблема.


 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group