Магические квадраты

[Nataly-Mak]

То есть это общая формула пандиагонального квадрата любого порядка N?
Как я понимаю, вы нашли общий вид базисной матрицы E(i,j) для пандиагональных квадратов.
Для квадрата порядка 6 у вас получается 15 независимых переменных. Так?
Это при известной магической константе. Формула получается типа 15+21.
Что у вас получается при реализации этой формулы? Если учесть, что один элемент можно не варьировать (из-за пандиагональности), получается 14 варьируемых переменных. Из-за симметрии ничего нельзя сократить?

Я хочу как-нибудь сделать более-менее реализуемую формулу пандиагонального квадрата 6-го порядка.
maxal сообщил, что его программа для такого квадрата выполняется долго.
У меня задача не решена о минимальности пандиагонального квадрата порядка 6 из произвольных простых чисел с магической константой 630.
Кроме того, из общей формулы получу формулу для идеального квадрата, преобразовав её с учётом ассоциативности. Тогда количество свободных элементов будет значительно меньше.

[svb]

Забыл указать, что $N>4$.
Базис полумагических квадратов и базис пандиагональных квадратов указан по вышеприведенной ссылке, они состоят из элементов вида:

 1 -1
-1  1

- для полумагических и

    1 -1
-1  0  0  1
 1  0  0 -1
   -1  1 

- для пандиагональных. Любопытно, что последний элемент равен сумме 4 элементов базиса полумагических квадратов.
Для примитивных квадратов также можно привести базис, это элементы, например, вида

0 0 1 0 0 ...
0 0 1 0 0 ...
.........
-1 -1 0 -1 -1 ...
..........

.
Преобразования Россера переводят эти элементы в некоторый базис подпространства пандиагональных квадратов (при простом $N$). Для $N=5$ размерности пространств примитивных квадратов и пандиагональных совпадают, поэтому и получается, что для $N=5$ всегда существует примитивный квадрат для любого пандиагонального.
Сначала я пытался найти "хорошие" базисы, чтобы они были ортогональными, но сейчас думаю, что надо крутиться вокруг приведенных базисов, причем рассматривать полные наборы элементов (т.е. линейно зависимые). Те разностные формулы, которые при этом всплывают, дают серьезную надежду на более глубокое понимание магических квадратов.

p.s. Да, забыл сказать. Все это легко программируется в общем виде.
p.p.s. Примитивные квадраты дают красивый пример, который пусть и не дает все пандиагональные квадраты, но выделяет особое подпространство. Никто не исключает наличия других видов подпространств. Особенно интересен случай составных $N$ - там что-то мелькает, но пока убегает

[Nataly-Mak]

Ну, почему же убегает Мне вот, например, удалось "поймать" примитивные квадраты 6-го порядка, легко превращающиеся в идеальные квадраты. И для порядка 9 у меня есть алгоритм с примитивными квадратами (для нетрадиционных квадратов), но он не годится для простых чисел, только для произвольных натуральных чисел.

Далее, вы пишете, что всё это легко программируется. Да программируется всё легко. Выполнить вот только трудно
Программа есть у вас для пандиагональных квадратов 6-го порядка, которая выполняется за реальное время (хотя бы за два-три-четыре часа)? Как вот проверить конкретный массив из 36 чисел на возможность составления из него пандиагонального квадрата?
У 12d3 вот сделана программа, которая однозначно даёт ответ: можно или нет составить из заданного массива из 36 чисел обычный МК.
А теперь вопрос а пандиагональных квдаратах. И опять тот же камень преткновения. Нет программы, способной решить эту задачу. Или есть?
Как я уже сказала, у maxal'а есть такая программа, но он говорит, что быстродействие её оставляет желать лучшего.

Да, забыла спросить.
maxal
вы хорошо знаете сайт с арифметическими прогрессиями из простых чисел. Поясните, пожалуйста, там приведены все найденные прогрессии?
Вот, например, прогрессия с разностью 150: 7+150n, n = 0, 1, ..., 6
Есть ли ещё арифметические прогрессии с такой разностью, или это единственная?
Требуется найти всего семь прогрессий длины 7 с одинаковой разностью, это для построения пандиагонального квадрата, что уже не актуально (такие квадраты уже построены). А для построения идеального квадрата первые члены этих прогрессий тоже должны образовывать арифметическую прогрессию.

-- Пт авг 13, 2010 11:49:14 --

Сейчас выложила на файлообменник Народа серию статей "Анатомия магических квадратов":
http://narod.ru/disk/23687981000/anatom ... s.rar.html

Очень интересные статьи. Ещё раз хочу поблагодарить maxal'а за то, что он выложил эти статьи. Но это было давно и, возможно, здешняя ссылка уже не действует. Я укажу новую ссылку и в своей статье.

[svb]

У меня сейчас все убегает, из-за жары. Сегодня температура чуть меньше - 33. Скоро забуду, что такое магический квадрат. Тут вот у Вас мелькал метод 4 квадратов - так и не смог найти его.

-- Пт авг 13, 2010 10:57:50 --

Nataly-Mak в сообщении #344110 писал(а):

Очень интересные статьи. Ещё раз хочу поблагодарить maxal'а за то, что он выложил эти статьи. Но это было давно и, возможно, здешняя ссылка уже не действует. Я укажу новую ссылку и в своей статье.

Скачал, спасибо. Кстати, ночью искал "анатомию" гуглом после просмотра Вашей статьи.

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #344118 писал(а):

У меня сейчас все убегает, из-за жары. Сегодня температура чуть меньше - 33. Скоро забуду, что такое магический квадрат. Тут вот у Вас мелькал метод 4 квадратов - так и не смог найти его.

Ну, у нас по прежнему +37. Утром +28 кажутся раем. Но стоит сплошной смог. Где-то что-то горит.
Чтобы легче переносить жару, надо меньше кушать Я, например, от двухразового питания (обычного) во время жары перешла к одноразовому.

Нет, вы уж, пожалуйста, не забывайте, что такое магический квадрат

О каком методе 4 квадратов вы говорите? Может быть, о преобразовании 3-х квадратов? Так я его здесь показывала прямо на картинке на примере ассоциативного квадрата 6-го порядка.

[Nataly-Mak]

Уф! Дописала первую часть статьи. Она заканчивается алгоритмами построения квадратов 7-го порядка. Довольна, что хоть часть материалов собрала в кучу. Теперь на распутье: то ли продолжать писать статью, то ли продолжать решать нерешённые задачи, которых ещё немало.

Что коллеги мне посоветуют?

[Nataly-Mak]

Так, коллеги ничего не советуют Все отдыхают на природе, видимо.

А я продолжаю ломать голову над тем, как строить натрадиционные пандиагональные квадраты 6-го порядка. Общей формулы у меня пока нет (решения моей системы уравнений)

Рассуждаю так: если я нашла способ построения примтивного квадрата 6-го порядка, который даёт идеальный квадрат, то почему бы не найти примитивный квадрат для просто пандиагонального квадрата (без свойства ассоциативности)? Однако никак пока он мне не даётся.
Есть ведь у нас образец просто пандиагонального квадрата 6-го порядка с магической константой 930, составленный из последовательных простых чисел. Вот как он построен? И есть ли соответствующий ему примитивный квадрат? Хорошая задача!

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #344110 писал(а):

Вот, например, прогрессия с разностью 150: 7+150n, n = 0, 1, ..., 6
Есть ли ещё арифметические прогрессии с такой разностью, или это единственная?

С такой разностью - единственная. Дело в том, что 150 не делится на 7, а значит в любой такой прогрессии длины 7 обязательно присутствует число кратное 7, а значит в виду простоты равное 7.
Чтобы иметь более одной арифметической прогрессии длины 7, необходимо, чтобы ее разность была кратна 7 (и по аналогичным причинам также на 2, 3 и 5). Вот для примера несколько первых прогрессий длины 7 с разностью $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$:

[47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307]
[179, 389, 599, 809, 1019, 1229, 1439]
[199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459]
[409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669]
[619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879]
[829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089]
[881, 1091, 1301, 1511, 1721, 1931, 2141]
[1091, 1301, 1511, 1721, 1931, 2141, 2351]
[1453, 1663, 1873, 2083, 2293, 2503, 2713]
[3499, 3709, 3919, 4129, 4339, 4549, 4759]
[3709, 3919, 4129, 4339, 4549, 4759, 4969]
[3919, 4129, 4339, 4549, 4759, 4969, 5179]
[10529, 10739, 10949, 11159, 11369, 11579, 11789]
[10627, 10837, 11047, 11257, 11467, 11677, 11887]
[10837, 11047, 11257, 11467, 11677, 11887, 12097]
[10859, 11069, 11279, 11489, 11699, 11909, 12119]
[11069, 11279, 11489, 11699, 11909, 12119, 12329]
[11279, 11489, 11699, 11909, 12119, 12329, 12539]
[14423, 14633, 14843, 15053, 15263, 15473, 15683]
[20771, 20981, 21191, 21401, 21611, 21821, 22031]
[22697, 22907, 23117, 23327, 23537, 23747, 23957]
[30097, 30307, 30517, 30727, 30937, 31147, 31357]
[30307, 30517, 30727, 30937, 31147, 31357, 31567]
[31583, 31793, 32003, 32213, 32423, 32633, 32843]
[31793, 32003, 32213, 32423, 32633, 32843, 33053]
[32363, 32573, 32783, 32993, 33203, 33413, 33623]
[41669, 41879, 42089, 42299, 42509, 42719, 42929]
[75703, 75913, 76123, 76333, 76543, 76753, 76963]
[93281, 93491, 93701, 93911, 94121, 94331, 94541]
[95747, 95957, 96167, 96377, 96587, 96797, 97007]

[Nataly-Mak]

Спасибо! Поняла.
А можно теоретически ответить на такой вопрос: существуют ли семь арифметических прогрессий длины 7 из простых чисел с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию?
Среди приведённых прогрессий нет таких? Если у вас есть программа поиска таких прогрессий, то можно бы вставить в неё блок поиска арифметической прогрессии из первых членов прогрессий. Разности прогрессий могут быть любыми.

Аналогичный вопрос для чисел Смита.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #344368 писал(а):

Есть ведь у нас образец просто пандиагонального квадрата 6-го порядка с магической константой 930, составленный из последовательных простых чисел. Вот как он построен? И есть ли соответствующий ему примитивный квадрат? Хорошая задача!

Опять мимо примитивнй квадрат из набора чисел

67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251 

не строится

[Nataly-Mak]

Да, и по моей программе, которая составлена по алгоритму Россера, примитивный квадрат из этого набора чисел не строится. Это я уже давно проверила, как только мы начали строить пандиагональные квадраты по теории Россера.

Фишка в том, что я нашла примитивные квадраты, из которых получаются идеальные квадраты 6-го порядка (а они ведь тоже пандиагональные).

Так что теперь нельзя говорить, что пандиагональный квадрат 6-го порядка вообще нельзя построить из примитивного квадрата. Можно!

Но, может быть, найденный мной алгоритм работает только для идеальных квадратов?
Вот что хотелось бы выяснить.

Да, и как же построен пандиагональный квадрат 6-го порядка из последовательных простых чисел с магической константой 930? Тоже интересный вопрос. Может быть, по общей формуле? Которой у меня так-таки и нет. Кстати, не поможете ли решить систему уравнений?

[Garik2]

[Nataly-Mak]

О! Большое вам спасибо!

Интересное получилось решение. Сейчас буду анализировать. При беглом взгляде, кажется, получается 15 свободных элементов (при заданной магической константе).
Интересно, что для магической константы получилась прямо чистая формула, содержащая свободные элементы.

[Garik2]

Насколько я понял, произвольными являются x15, x20, x21, x22, x23. Все остальные параметры xij зависимы. Решал систему 24 уравнений с неизвестными x1 - x24 и S. Если не указывать S как неизвестный параметр, то Maple отказывается выдавать какой-либо результат.

[Nataly-Mak]

Да, я x15 проглядела. Тогда, наверное, получится 16 независимых элементов (ещё независимыми являются все ai, i = 1, 2, ..., 12). Но один из элементов ai можно выразить из формулы для S, поскольку S у нас известна.

Ну, я сейчас внимательно проанализирую и заодно проверю формулу на конкретном примере.

Ещё раз спасибо.