Уравнение третьей степени(неприподъёмное)

[Vvp_57]

Решите пожалуйста уравнение:
$ x^3+x^2-16440x+80375=0$
Вариант решения типа:
$ \frac{-1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{49321}\cos \left(\frac{1}{3} \arccos \left(\frac{2318087}{2\cdot 49321\cdot \sqrt{49321}} \right)\right)$
просьба не предлагать.

[gris]

Судя по производной 3 корня. Первый в районе -130, второй около 5, третий примерно 120.

[мат-ламер]

Вполне возможен вариант (и скорее всего), у этого уравнения нет корней, которые выражаются через радикалы от действительных чисел. А через радикалы от комплексных чисел скорее всего Вас не устроит. Можно на компьютере найти приближение, но и это, наверное, не то что Вам нужно.

[Vvp_57]

мат-ламер в сообщении #343144 писал(а):

Вполне возможен вариант (и скорее всего), у этого уравнения нет корней, которые выражаются через радикалы от действительных чисел. А через радикалы от комплексных чисел скорее всего Вас не устроит. Можно на компьютере найти приближение, но и это, наверное, не то что Вам нужно.

Да, Вы совершенно правы. Конечно здесь нет корней которые выражаются через радикалы.
Мне нужен корень который выражается через косинусы(или синусы если так будет короче),
вообще примерно так:
$ x^3+x^2-36x-4=0$
а,
$ x3=2\cos \left(\frac{18\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{22\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{30\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{36\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{42\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{44\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{50\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{60\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{62\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{70\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{72\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{74\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{78\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{84\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{88\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{94\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{98\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{100\pi }{109} \right)$
Если не наврал где нибудь то сойдеться.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #343101 писал(а):

Решите пожалуйста уравнение:
$ x^3+x^2-16440x+80375=0$

Как подсказывают эксперты, корни этого уравнения в косинусах выражаются так:

$$x_n = 2 \sum_{i=1}^{1260} \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^3 \cos\left(\frac{2\cdot\pi\cdot 34059^i\cdot 26752^{3j+n}\cdot 36213^k}{49321}\right),\qquad n=1,2,3.$$

Соответствующие коэффициенты легко вычисляются в PARI/GP.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #343281 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #343101 писал(а):

Решите пожалуйста уравнение:
$ x^3+x^2-16440x+80375=0$

Как подсказывают эксперты, корни этого уравнения в косинусах выражаются так:

$$x_n = 2 \sum_{i=1}^{1260} \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^3 \cos\left(\frac{2\cdot\pi\cdot 34059^i\cdot 26752^{3j+n}\cdot 36213^k}{49321}\right),\qquad n=1,2,3.$$

Соответствующие коэффициенты легко вычисляются в PARI/GP.

Спасибо, наверное правильно. По крайней мере знаменатель «мой», остальное
в маткаде наверное не проверить... Интересно, а можно мне еще задать в этой
же теме такое же уравнение, но с коэффициентами чуть побольше?

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #343292 писал(а):

Интересно, а можно мне еще задать в этой
же теме такое же уравнение, но с коэффициентами чуть побольше?

Почему нет? Задавайте, конечно...

-- Sun Aug 08, 2010 17:54:38 --

maxal в сообщении #343382 писал(а):

По крайней мере знаменатель «мой», остальное
в маткаде наверное не проверить...

Кстати, численно проверить должно быть легко. Единственное, о чем нужно позаботиться - возводить в степень по модулю $49321$, чтобы числа не зашкаливали.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #343382 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #343292 писал(а):

Интересно, а можно мне еще задать в этой
же теме такое же уравнение, но с коэффициентами чуть побольше?

Почему нет? Задавайте, конечно...

-- Sun Aug 08, 2010 17:54:38 --

Спасибо. Задержал с ответом прошу простить. Предлагаю три уравнения. Первое "не сложное":
$x^3+x^2-3591712x-1996193899=0$
Два других усложнены:
$x^3-x^2-11085306x+13913291149=0$
$x^3+x^2-6640846x+2020293029=0$

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #343522 писал(а):

Предлагаю три уравнения. Первое "не сложное":
$x^3+x^2-3591712x-1996193899=0$
Два других усложнены:
$x^3-x^2-11085306x+13913291149=0$
$x^3+x^2-6640846x+2020293029=0$

PARI/GP без труда справляется со всеми тремя:

? B=bnfinit(y)
%1 = [[;], [;], [;], [;], []~, 0, [y, [1, 0], 1, 1, [Mat(1), Mat(1), Mat(1), Mat(1), 1, Mat(1), [1, 0]], [0.E-38], [1], Mat(1), Mat(1)], [[1, [], []], 1, 1, [2, -1], []], [[;], [], []], 0]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-3591712*x-1996193899)
%2 = [[Mat(10775137), [0]], [5314680, [295260, 6, 3], [7061221, 8407507, [-2352651]~]], [3, 1, 1; 0, 1, 0; 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3-x^2-11085306*x+13913291149)
%3 = [[Mat(33255919), [0]], [15752880, [145860, 6, 6, 3], [31954210, 18522285, 2791861, [-1541029]~]], [3, 1, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-6640846*x+2020293029)
%4 = [[Mat(19922539), [0]], [7464960, [1440, 12, 12, 12, 3], [3086448, 18494386, 9614333, 9195019, [1954515]~]], [3, 1, 1, 2, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]

[Vvp_57]

maxal в сообщении #343527 писал(а):

PARI/GP без труда справляется со всеми тремя:

? B=bnfinit(y)
%1 = [[;], [;], [;], [;], []~, 0, [y, [1, 0], 1, 1, [Mat(1), Mat(1), Mat(1), Mat(1), 1, Mat(1), [1, 0]], [0.E-38], [1], Mat(1), Mat(1)], [[1, [], []], 1, 1, [2, -1], []], [[;], [], []], 0]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-3591712*x-1996193899)
%2 = [[Mat(10775137), [0]], [5314680, [295260, 6, 3], [7061221, 8407507, [-2352651]~]], [3, 1, 1; 0, 1, 0; 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3-x^2-11085306*x+13913291149)
%3 = [[Mat(33255919), [0]], [15752880, [145860, 6, 6, 3], [31954210, 18522285, 2791861, [-1541029]~]], [3, 1, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-6640846*x+2020293029)
%4 = [[Mat(19922539), [0]], [7464960, [1440, 12, 12, 12, 3], [3086448, 18494386, 9614333, 9195019, [1954515]~]], [3, 1, 1, 2, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]

Вынужден признать силу PARI/GP! В качестве последнего "хода" хочется задать уравнение
которое еще возможно в "моем" маткаде:
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
Уверен что и это уравнение Вы легко решите.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #343901 писал(а):

Уверен что и это уравнение Вы легко решите.

Попробуйте сами, благо PARI/GP свободно распространяется: http://pari.math.u-bordeaux.fr/

[Vvp_57]

maxal в сообщении #343908 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #343901 писал(а):

Уверен что и это уравнение Вы легко решите.

Попробуйте сами, благо PARI/GP свободно распространяется: http://pari.math.u-bordeaux.fr/

К сожаленью, но воспользоваться ссылкой я не смогу. По ряду причин. Во первых незнание английского. Во вторых "это" все нужно установить,
состыковать, не факт что заработает. Тут нужен человек опытный, у меня опыта нет и знакомого такого нет. В третьих есть вероятность, что уравнение
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
и не решиться чисто из технических проблем. Поэтому вся надежда на Вас. Если нетрудно дайте решение и будем считать тему закрытой.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #344114 писал(а):

В третьих есть вероятность, что уравнение
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
и не решиться чисто из технических проблем.

С чего бы это вдруг? Соответствующие параметры вычисляются за 8 миллисекунд:

? rnfconductor(B,x^3+x^2-11632551336300*x-10425384613881470275)
%2 = [[Mat(34897654008901), [0]], [17278464883680, [141080940, 378, 18, 6, 3], [6854966871983, [-7894958452120]~, 9378137823417, 3669830976860, [6698818411214]~]], [3, 0, 1, 2, 1; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]
? ##
  ***   last result computed in 8 ms.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #344174 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #344114 писал(а):

В третьих есть вероятность, что уравнение
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
и не решиться чисто из технических проблем.

С чего бы это вдруг? Соответствующие параметры вычисляются за 8 миллисекунд:

? rnfconductor(B,x^3+x^2-11632551336300*x-10425384613881470275)
%2 = [[Mat(34897654008901), [0]], [17278464883680, [141080940, 378, 18, 6, 3], [6854966871983, [-7894958452120]~, 9378137823417, 3669830976860, [6698818411214]~]], [3, 0, 1, 2, 1; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]
? ##
  ***   last result computed in 8 ms.

Спасибо! Здорово! 8милисекунд! А мне даже не удалось проверить число $17278464883680$, хорошо хоть знаменатель "мой".
Скажите пожалуйста правильно ли у меня получилось выразить корни:

$$x_n = 2\sum_{p=1}^{47026980}\sum_{q=1}^{378} \sum_{i=1}^{18} \sum_{j=1}^6 \sum_{k=1}^3 \cos\left(\frac{2\cdot\pi\cdot 6854966871983^{3p+i+2j+k+n}\cdot 27002695556781^{q}\cdot 9378137823417^{i}\cdot 3669830976860^{j}\cdot 28198835597687^k}{34897654008901}\right),\qquad n=1,2,3.$$

числа:$[-7894958452120]$, и $[6698818411214]$ заменил на
$34897654008901-7894958452120=27002695556781$ и
$34897654008901-6698818411214=28198835597687$
В последнем числе есть минус или нет? Ведь оно в квадратных скобках?