2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение07.08.2010, 14:39 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Решите пожалуйста уравнение:
$ x^3+x^2-16440x+80375=0$
Вариант решения типа:
$ \frac{-1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{49321}\cos \left(\frac{1}{3} \arccos \left(\frac{2318087}{2\cdot 49321\cdot \sqrt{49321}} \right)\right)$
просьба не предлагать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение07.08.2010, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Судя по производной 3 корня. Первый в районе -130, второй около 5, третий примерно 120.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение07.08.2010, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Вполне возможен вариант (и скорее всего), у этого уравнения нет корней, которые выражаются через радикалы от действительных чисел. А через радикалы от комплексных чисел скорее всего Вас не устроит. Можно на компьютере найти приближение, но и это, наверное, не то что Вам нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение07.08.2010, 23:26 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
мат-ламер в сообщении #343144 писал(а):
Вполне возможен вариант (и скорее всего), у этого уравнения нет корней, которые выражаются через радикалы от действительных чисел. А через радикалы от комплексных чисел скорее всего Вас не устроит. Можно на компьютере найти приближение, но и это, наверное, не то что Вам нужно.

Да, Вы совершенно правы. Конечно здесь нет корней которые выражаются через радикалы.
Мне нужен корень который выражается через косинусы(или синусы если так будет короче),
вообще примерно так:
$ x^3+x^2-36x-4=0$
а,
$ x3=2\cos \left(\frac{18\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{22\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{30\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{36\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{42\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{44\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{50\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{60\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{62\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{70\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{72\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{74\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{78\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{84\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{88\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{94\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{98\pi }{109} \right)+2\cos \left(\frac{100\pi }{109} \right)$
Если не наврал где нибудь то сойдеться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение08.08.2010, 15:35 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Vvp_57 в сообщении #343101 писал(а):
Решите пожалуйста уравнение:
$ x^3+x^2-16440x+80375=0$

Как подсказывают эксперты, корни этого уравнения в косинусах выражаются так:
$$x_n = 2 \sum_{i=1}^{1260} \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^3 \cos\left(\frac{2\cdot\pi\cdot 34059^i\cdot 26752^{3j+n}\cdot 36213^k}{49321}\right),\qquad n=1,2,3.$$
Соответствующие коэффициенты легко вычисляются в PARI/GP.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение08.08.2010, 16:29 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal в сообщении #343281 писал(а):
Vvp_57 в сообщении #343101 писал(а):
Решите пожалуйста уравнение:
$ x^3+x^2-16440x+80375=0$

Как подсказывают эксперты, корни этого уравнения в косинусах выражаются так:
$$x_n = 2 \sum_{i=1}^{1260} \sum_{j=1}^2 \sum_{k=1}^3 \cos\left(\frac{2\cdot\pi\cdot 34059^i\cdot 26752^{3j+n}\cdot 36213^k}{49321}\right),\qquad n=1,2,3.$$
Соответствующие коэффициенты легко вычисляются в PARI/GP.

Спасибо, наверное правильно. По крайней мере знаменатель «мой», остальное
в маткаде наверное не проверить... Интересно, а можно мне еще задать в этой
же теме такое же уравнение, но с коэффициентами чуть побольше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение09.08.2010, 01:52 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Vvp_57 в сообщении #343292 писал(а):
Интересно, а можно мне еще задать в этой
же теме такое же уравнение, но с коэффициентами чуть побольше?

Почему нет? Задавайте, конечно...

-- Sun Aug 08, 2010 17:54:38 --

maxal в сообщении #343382 писал(а):
По крайней мере знаменатель «мой», остальное
в маткаде наверное не проверить...

Кстати, численно проверить должно быть легко. Единственное, о чем нужно позаботиться - возводить в степень по модулю $49321$, чтобы числа не зашкаливали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение10.08.2010, 01:47 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal в сообщении #343382 писал(а):
Vvp_57 в сообщении #343292 писал(а):
Интересно, а можно мне еще задать в этой
же теме такое же уравнение, но с коэффициентами чуть побольше?

Почему нет? Задавайте, конечно...

-- Sun Aug 08, 2010 17:54:38 --

Спасибо. Задержал с ответом прошу простить. Предлагаю три уравнения. Первое "не сложное":
$x^3+x^2-3591712x-1996193899=0$
Два других усложнены:
$x^3-x^2-11085306x+13913291149=0$
$x^3+x^2-6640846x+2020293029=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение10.08.2010, 05:55 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Vvp_57 в сообщении #343522 писал(а):
Предлагаю три уравнения. Первое "не сложное":
$x^3+x^2-3591712x-1996193899=0$
Два других усложнены:
$x^3-x^2-11085306x+13913291149=0$
$x^3+x^2-6640846x+2020293029=0$

PARI/GP без труда справляется со всеми тремя:
Код:
? B=bnfinit(y)
%1 = [[;], [;], [;], [;], []~, 0, [y, [1, 0], 1, 1, [Mat(1), Mat(1), Mat(1), Mat(1), 1, Mat(1), [1, 0]], [0.E-38], [1], Mat(1), Mat(1)], [[1, [], []], 1, 1, [2, -1], []], [[;], [], []], 0]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-3591712*x-1996193899)
%2 = [[Mat(10775137), [0]], [5314680, [295260, 6, 3], [7061221, 8407507, [-2352651]~]], [3, 1, 1; 0, 1, 0; 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3-x^2-11085306*x+13913291149)
%3 = [[Mat(33255919), [0]], [15752880, [145860, 6, 6, 3], [31954210, 18522285, 2791861, [-1541029]~]], [3, 1, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-6640846*x+2020293029)
%4 = [[Mat(19922539), [0]], [7464960, [1440, 12, 12, 12, 3], [3086448, 18494386, 9614333, 9195019, [1954515]~]], [3, 1, 1, 2, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение12.08.2010, 01:03 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal в сообщении #343527 писал(а):
PARI/GP без труда справляется со всеми тремя:
Код:
? B=bnfinit(y)
%1 = [[;], [;], [;], [;], []~, 0, [y, [1, 0], 1, 1, [Mat(1), Mat(1), Mat(1), Mat(1), 1, Mat(1), [1, 0]], [0.E-38], [1], Mat(1), Mat(1)], [[1, [], []], 1, 1, [2, -1], []], [[;], [], []], 0]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-3591712*x-1996193899)
%2 = [[Mat(10775137), [0]], [5314680, [295260, 6, 3], [7061221, 8407507, [-2352651]~]], [3, 1, 1; 0, 1, 0; 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3-x^2-11085306*x+13913291149)
%3 = [[Mat(33255919), [0]], [15752880, [145860, 6, 6, 3], [31954210, 18522285, 2791861, [-1541029]~]], [3, 1, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1]]
? rnfconductor(B,x^3+x^2-6640846*x+2020293029)
%4 = [[Mat(19922539), [0]], [7464960, [1440, 12, 12, 12, 3], [3086448, 18494386, 9614333, 9195019, [1954515]~]], [3, 1, 1, 2, 0; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]

Вынужден признать силу PARI/GP! В качестве последнего "хода" хочется задать уравнение
которое еще возможно в "моем" маткаде:
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
Уверен что и это уравнение Вы легко решите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение12.08.2010, 04:39 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Vvp_57 в сообщении #343901 писал(а):
Уверен что и это уравнение Вы легко решите.

Попробуйте сами, благо PARI/GP свободно распространяется: http://pari.math.u-bordeaux.fr/

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение13.08.2010, 10:31 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal в сообщении #343908 писал(а):
Vvp_57 в сообщении #343901 писал(а):
Уверен что и это уравнение Вы легко решите.

Попробуйте сами, благо PARI/GP свободно распространяется: http://pari.math.u-bordeaux.fr/

К сожаленью, но воспользоваться ссылкой я не смогу. По ряду причин. Во первых незнание английского. Во вторых "это" все нужно установить,
состыковать, не факт что заработает. Тут нужен человек опытный, у меня опыта нет и знакомого такого нет. В третьих есть вероятность, что уравнение
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
и не решиться чисто из технических проблем. Поэтому вся надежда на Вас. Если нетрудно дайте решение и будем считать тему закрытой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение13.08.2010, 16:47 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Vvp_57 в сообщении #344114 писал(а):
В третьих есть вероятность, что уравнение
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
и не решиться чисто из технических проблем.

С чего бы это вдруг? Соответствующие параметры вычисляются за 8 миллисекунд:
Код:
? rnfconductor(B,x^3+x^2-11632551336300*x-10425384613881470275)
%2 = [[Mat(34897654008901), [0]], [17278464883680, [141080940, 378, 18, 6, 3], [6854966871983, [-7894958452120]~, 9378137823417, 3669830976860, [6698818411214]~]], [3, 0, 1, 2, 1; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]
? ##
  ***   last result computed in 8 ms.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение третьей степени(неприподъёмное)
Сообщение14.08.2010, 03:21 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal в сообщении #344174 писал(а):
Vvp_57 в сообщении #344114 писал(а):
В третьих есть вероятность, что уравнение
$ x^3+x^2-11632551336300x-10425384613881470275=0$
и не решиться чисто из технических проблем.

С чего бы это вдруг? Соответствующие параметры вычисляются за 8 миллисекунд:
Код:
? rnfconductor(B,x^3+x^2-11632551336300*x-10425384613881470275)
%2 = [[Mat(34897654008901), [0]], [17278464883680, [141080940, 378, 18, 6, 3], [6854966871983, [-7894958452120]~, 9378137823417, 3669830976860, [6698818411214]~]], [3, 0, 1, 2, 1; 0, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]]
? ##
  ***   last result computed in 8 ms.

Спасибо! Здорово! 8милисекунд! А мне даже не удалось проверить число $17278464883680$, хорошо хоть знаменатель "мой".
Скажите пожалуйста правильно ли у меня получилось выразить корни:
$$x_n = 2\sum_{p=1}^{47026980}\sum_{q=1}^{378} \sum_{i=1}^{18} \sum_{j=1}^6 \sum_{k=1}^3 \cos\left(\frac{2\cdot\pi\cdot 6854966871983^{3p+i+2j+k+n}\cdot 27002695556781^{q}\cdot 9378137823417^{i}\cdot 3669830976860^{j}\cdot 28198835597687^k}{34897654008901}\right),\qquad n=1,2,3.$$
числа:$[-7894958452120]$, и $[6698818411214]$ заменил на
$34897654008901-7894958452120=27002695556781$ и
$34897654008901-6698818411214=28198835597687$
В последнем числе есть минус или нет? Ведь оно в квадратных скобках?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group