Разность степеней натуральных чисел

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники! Всем известно равенство $3^2-2^3=1$. Сначала я задумался, а есть ли еще такие степени натуральных чисел, различающиеся на единицу. Доказать или опровергнуть данное утверждение я не смог. Тогда задача была сформулирована следующим образом: какая минимальная разность степеней натуральных чисел может быть. У меня получились следующие варианты:
$2^7-5^3=3$
$5^3-11^2=4$
$6^2-2^5=4$
$2^5-3^3=5$
$15^2-6^3=9$
$13^3-3^7=10$
$56^2-5^5=11$
$4^4-3^5=13$
$3^5-15^2=18$
$4^5-10^3=24$
$6^5-88^2=32$
Но самый красивый результат, который был мной получен, я считаю следующий
$37^3-15^4=50653-50625=28$.
Здесь сама разность весьма существенно отличается от степеней.
Некоторые разности сами являются степенями, что само по себе тоже интересно.
У меня крупное подозрение, что разность степеней натуральных чисел не может равняться 2.
Но ни доказать ни опровергнуть утверждение не могу.
Какая здесь теория может применяться? Какие еще примеры можно предложить?

[venco]

Побережный Александр в сообщении #343670 писал(а):

У меня крупное подозрение, что разность степеней натуральных чисел не может равняться 2.

$3^3-5^2=2$

[maxal]

Побережный Александр в сообщении #343670 писал(а):

Всем известно равенство $3^2-2^3=1$. Сначала я задумался, а есть ли еще такие степени натуральных чисел, различающиеся на единицу.

Других нет. Это известная гипотеза Каталана, доказанная Михалеску в 2002 году.
http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html

[мат-ламер]

В журнале Квант 2007г. N4 была статья на эту тему.

[Побережный Александр]

Да, с двойкой я погорячился! Тем не менее, кроме указанного случая, есть еще разности степеней равные двум?

[maxal]

Побережный Александр в сообщении #343689 писал(а):

Тем не менее, кроме указанного случая, есть еще разности степеней равные двум?

Кроме указанного решения других вполне может и не быть. Вполне ожидаемо (по аналогии с гипотезой Каталана), что каждое натуральное число можно представить в виде разности степеней натуральных чисел лишь конечным числом способов.

[Побережный Александр]

maxal в сообщении #343695 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #343689 писал(а):

Тем не менее, кроме указанного случая, есть еще разности степеней равные двум?

Кроме указанного решения других вполне может и не быть. Вполне ожидаемо (по аналогии с гипотезой Каталана), что каждое натуральное число можно представить в виде разности степеней натуральных чисел лишь конечным числом способов.

Это совсем не очевидно. Если вы обратите внимание на приведенные примеры, разность степеней равная 4 имеет два различных представления.

[Лукомор]

Побережный Александр в сообщении #343670 писал(а):

какая минимальная разность степеней натуральных чисел может быть.

$4^3-8^2=0$

[serval]

Любое натуральное число $k$ в любой натуральной степени $n$ можно представить как значение скалярного произведения $\langle \vec e_1 \vert {(A_2^T)}^n {A_1}^{k-1} \vert \vec e_1 \rangle=k^n$ где

$\langle \vec e_1 \vert=(1,0,0\ldots)$ - первый орт (вектор-строка),

$\vert \vec e_1 \rangle={\langle \vec e_1 \vert}^T$ - то же, но вектор-столбец,

${A_1}=\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&0&0&\ \\ 1&1&0&0&0&\ \\ 0&1&1&0&0&\ldots\\ 0&0&1&1&0&\ \\ 0&0&0&1&1&\ \\ \ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots \end{array}\right)$

${A_2}=\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&0&0&0&\ \\ 1&2&0&0&0&\ \\ 0&2&3&0&0&\ldots\\ 0&0&3&4&0&\ \\ 0&0&0&4&5&\ \\ \ &\ &\vdots&\ &\ &\ddots \end{array}\right)$

Попробуйте осмотреть на числа с этой стороны.

[maxal]

Побережный Александр в сообщении #343709 писал(а):

Это совсем не очевидно. Если вы обратите внимание на приведенные примеры, разность степеней равная 4 имеет два различных представления.

И что с того? Два также является числом конечным.

[Побережный Александр]

Уважаемый maxal, прошу извинить, я неправильно понял ваше замечание.

[age]

maxal в сообщении #343695 писал(а):

Вполне ожидаемо (по аналогии с гипотезой Каталана), что каждое натуральное число можно представить в виде разности степеней натуральных чисел лишь конечным числом способов.

Это следует из теоремы Туэ.

[maxal]

age в сообщении #344158 писал(а):

Это следует из теоремы Туэ.

Это только если показатели степеней равны и фиксированы. А вообще - нет.

[age]

maxal
Если доказать, что любая разность степеней может быть представлена:
$x^n-y^k=\dfrac{\prod\limits_{i\leq k<n}{(x^{p_i}y^{q_i}-1)}}{K}$, где $K$ - целое число, то применение теоремы (неравенства) Туэ, по идее, должно дать такой же результат - конечное число решений.

[maxal]

age
Докажите для начала гипотезу Каталана таким образом - тогда и поговорим...