Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"

[alex1910]

ewert в сообщении #344057 писал(а):

alex1910 в сообщении #344055 писал(а):

Собственные функции при решении ДУ - вполне себе та опера.

Нет. При решении ДУ как таковых собственных функций не бывает как класса. Возможно, некоторые энтузиасты способны назвать собственными функциями фундаментальные решения, но это диверсия -- неприлично подрывать установившуюся терминологию. Тем более, что собственные элементы в общепринятом понимании с известными оговорками определяются однозначно, фундаментальные же решения -- ни в каком смысле.

alex1910 в сообщении #344055 писал(а):

И нахождение их правильной комбинации

"Правильных" комбинаций не бывает: любая комбинация может оказаться правильной или нет -- в зависимости от того, удовлетворяет или нет условиям задачи.

Можете сколько угодно жонглировать определениями, но Вы прекрасно понимаете, что имеется ввиду. К тому же, не соглашусь с Вашим утверждением,
что "только энтузиасты" называют ЭТО собственными фукнциями - такой жаргон вполне распространен в литературе, включая даже многие учебники начального уровня.

Вопрос в другом - что ЖНФ не нужна для вычисления экспоненты. Надеюсь, я этим Вы спорить больше не станете.

[ewert]

alex1910 в сообщении #344058 писал(а):

Вы прекрасно понимаете, что имеется ввиду. К тому же, не соглашусь с Вашим утверждением, что "только энтузиасты" называют ЭТО собственными фукнциями

Ничего не понимаю. Эпитет "собственный, -ая, -ое" -- закреплён вполне жёстко, и злоупотреблять им -- явный моветон.

alex1910 в сообщении #344058 писал(а):

ЖНФ не нужна для вычисления экспоненты.

Для определения -- не нужна. Для вычисления -- полезна. Для анализа свойств -- необходима.

Простой пример. Допустим, у матрицы есть единичные по модулю собственные числа (а больше единицы нет). Идеологически: чем определяется -- будет ли система устойчива (не асимптотически, естественно)?...

[alex1910]

1. exp(at) - собственные функции оператора дифференцирования.
2. воля Ваша, что считать моветоном, однако указывать Вы можете только своим студентам.
3. предлагаю прекратить разговор, если Вам хочется сказать что-то еще - пишите в ЛС.

[Andrei P]

мат-ламер в сообщении #343636 писал(а):

Цитата:

Никто из студентов не знает ДУ Эйлера (в стандартный курс не входит).

Если это уравнение Эйлера-Лагранжа, то оно должно быть в быть в курсах вариационного исчисления и аналитической механики. В принципе это фундамент механики. А как инженеру без механики? Простейшие дифференциальные уравнения (типа мат. маятника) надо изучать в школе. .

Это уравнение Эйлера типа из ДУ высшего порядка.
x^n y^{(n)} + p_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)} \ldots
Его подстановкой сводят к однородному ДУ с постоянными коэффициентами.
Курсов вариационного исчисления у подавляющего большинства инженеров нет. Уравнения Лагранжа второго рода (ур. Эйлера-Лагранжа), вроде в стандартном курсе теормех присутствуют. Хотя после бакалавризации --- не факт! У моих (приборостроители, многие будут механику измерять) два семестра на весь курс прикладной механики (3-4 часа в неделю, включает теормех, сопромат, ТММ, элементы деталей машин), прошлой сенью один преподаватель с классического университета прочитал за семестр статику не до конца, мне досталось все остальное, с курсовой работой в конце!
Обычно курсы сокращают, и сокращение в случае механики приходится на динамику, особенно последнюю часть. А что в конце курса? Элементы аналитической механики!
ДУ в школе? Если речь идет об отмене анализа в школе... ИМХО, не надо переходить на 12-летку, лучше пусть высшее образование будет от 5 лет.

[ewert]

Andrei P в сообщении #345928 писал(а):

Это уравнение Эйлера типа из ДУ высшего порядка.
x^n y^{(n)} + p_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)} \ldots
Его подстановкой сводят к однородному ДУ с постоянными коэффициентами.

Не обязательно. Поиск фундаментальных решений в виде степеней -- даже более симпатичен. Правда, возникают проблемы с кратными корнями, для разбирательства с которыми действительно выгоднее уже перейти к подстановке.

[Sasha2]

Прочел эту лккцию Рохлина, только не понял нифига, как вводить производные и интегралы без пределов.
Это что ли он предлагает просто зучить таблицы тех и других и простейшие правила дифференцирования и интегрирования.
Так что ли выходит?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #349456 писал(а):

не понял нифига, как вводить производные и интегралы без пределов.

Никак. Для технарей экономия может сводиться лишь к вульгаризации понятия предела. А без самого понятия -- никак. Оно идейно.

[Padawan]

(Оффтоп)

alex1910 в сообщении #344017 писал(а):

ewert в сообщении #344004 писал(а):

[Интересно, а какой ещё?... (речь именно о вычислении, а не о формальном определении)

Кроме того, для матрицы $e^{tA}$ представляет интерес не только и даже не столько способ её явного вычисления, сколько выявление характера её зависимости от $t$. А тут без жордановой формы никак.

Ну как. Пусть известны все корни характеристического многочлена.
Построим по этим корням ( с учетом кратностей) интерполяционный многочлен экспоненты, тогда экспонента равна значению интерполяционного многочлена в матрице.

См., например, Винберг, курс Алгебры, 2001, стр. 253.

Или еще Гантмахер Теория матриц. Глава "Функции от матриц".

Нужно знать только характеристический многочлен. А достаточно -- минимального, но и его можно без жордановой формы находить. Он равен хар.многочлен/НОД миноров $n-1$ -ого порядка.

[ewert]

Padawan в сообщении #349518 писал(а):

А достаточно -- минимального,

Щас. Восстановите-ка жорданову форму по минимальному многочлену. А я на Вас погляжу.

[Padawan]

ewert
Так не нужна жорданова, не нужна, чтобы функцию от матрицы посчитать. Давайте, Вы мне скажите минимальный многочлен матрицы, я выпишу Вам многочлен, Вы в него подставите матрицу и будет Вам экспонента.

[Padawan]

Хватит даже одних только собственных значений, даже без кратностей (ну и порядок матрицы, естественно)

[timots]

Прочел Рохлина. И честно скажу обидно. Я ведь сам пошел в технари только потому, что не знал, чем математики после института занимаются.

(Оффтоп)

Может лучше тогда отменить математику. Такую математику нам не надо!