2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение29.05.2010, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Не могу не поделиться:))

Блестящая лекция Владимира Абрамовича Рохлина на заседании Ленинградского Математического Общества о преподавании математики нематематикам, прочитанная в восемдесят первом году, была записана на магнитофон Б.А.Лифшицем и недавно запись была расшифрована и опубликана в новой серии сборника "Математическое просвещение". Вот pdf-файл с этой расшифровкой.

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/Rokhlin-lect-LMO.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение29.05.2010, 10:58 
Заслуженный участник


13/12/05
3629
Цитата:
Будучи математиком, преподаватель не хочет никого надувать. Ему стыдно надувать кого бы то ни было, в том числе и своих студентов. Он хочет им что-то доказывать.

Точно, точно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение29.05.2010, 12:05 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Мне понравилось :roll: :-)
Только вот опять не понял, что делать-то? Ну да, они всё не так понимают. И?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение03.06.2010, 21:11 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Прочитал Рохлина. Это что - преподавать или не преподавать пределы - одна из центральных проблем мат. образования технарей? Да их сейчас в школе проходят. Или, "неотрицательное число, которое меньше всех положительных - это нуль". Что, из этого вытекают все остальные свойства действительных чисел? (По-моему, это тавтология, а не аксиома). Или интегрирование вводить на основании аксиоматического подхода, а не через меру? Это ещё более искуственнее. Вообщем, со многим согласен, но кое-что не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение09.08.2010, 09:53 


13/12/08
103
Ижевск
Немного о себе. Сейчас преподаю, в том числе волею случая, математику (недавно). Но по образованию инженер-артиллерист. Насчет курсов математики для ВТУЗов согласен с Рохлиным. Пробовал лет восемь назад прочитать инж-экологам курс почти без доказательств и с минимумом матязыка. По ходу курса уровень строгости вынужденно постоянно возрастал, сказывались ограничения наивно-аксиоматического метода (при моем недостаточном уровне и нехватке времени).
Решение задачи нормального курса математики для инженеров на массовом уровне пока нет. Инженеры в массе своей математику боятся и, многие, ненавидят. Пример: неплохая группа, я в курсе "теория упругости" даю задачу Лямэ (напряжения в толстостенной трубе под давлением), получаем диф. уравнение Эйлера. В курсах сопромата и механики я стараюсь остановится на каких-либо математических моментах, если ненадолго (кстати, за это получал от завкафедрой сопромата "о математике пусть болит голова у кафедры математики"). Никто из студентов не знает ДУ Эйлера (в стандартный курс не входит). Делаю необходимые подстановки, получаю уравнение:
$\ddot{y} - y = 0.$
Ни один не смог вспомнить, как решать. Ровно год назад студенты изучали ДУ в курсе математики.

Боюсь, что раз на массовом уровне решения задачи не найдено, это очень непростое дело.

Но есть еще курсы математики для "философов". В прошлом году читал курс математики (сильно кастрированный) для инженерно-педагогической специальности (два семестра по две пары в неделю). Первый год преподаю на кафедре, попросили оценить преподавателя, который у меня проводил практические занятия. Тот сказал, что я читаю интересно и "зажигательно", и что неплохо дать мне на следующий год физкультурников. Я воспринял как шутку. А в конце года при распределении нагрузки получил к своему потоку еще поток факультета ФиС (Физкультура и спорт). Курс еще меньше по часам в полтора раза по сравнению с курсом ИП специальности. Студенты предельно немотивированные к занятиям математикой.
Даже не знаю, как построить курс. Образовательный стандарт стереотипен, как и у инженеров, с некоторым уменьшением. Будь моя воля, я бы сделал упор на статистику (она им может понадобиться), общее понимание и интегральное исчисление (понимание, а не тригонометрические подстановки). Но пока не знаю, что делать. Коллеги обычно в таких случаях читают стандарт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение10.08.2010, 20:11 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Цитата:
Никто из студентов не знает ДУ Эйлера (в стандартный курс не входит).
Если это уравнение Эйлера-Лагранжа, то оно должно быть в быть в курсах вариационного исчисления и аналитической механики. В принципе это фундамент механики. А как инженеру без механики? Простейшие дифференциальные уравнения (типа мат. маятника) надо изучать в школе.
Цитата:
Решение задачи нормального курса математики для инженеров на массовом уровне пока нет.
Когда-то были сделаны попытки написания таких курсов (Зельдович, Мышкис). Но эти попытки оганичились самыми началами анализа. Хороший курс дифференциальных уравнений на простом уровне написать непросто. Я ещё будучи школьником пытался разобраться в ДУ, но понял тогда мало. Приведу примеры моих затруднений. Вот есть диф. уравнение $dy/dx=P(x)/Q(y)$. Тут вроде всё понятно. Далее авторы популярных книг записывают эту уравнение так $P(x)dx=Q(y)dy$. Тут я уже начинал тормозить. Как это они так разрезали производную на две части? И вообще, последнее уравнение описывает какой объект? Если Вы думайте, что дифференциалы, то пожалуйста, определите, чему они будут равны. Я думаю, что последнее уравнение описывает поле направлений и отнюдь не равносильно первому. (В университетском курсе Петровского всё изложено понятно). Далее авторы популярных книг каким-то непостижимым образом дорисовывают в последнем уравнении знаки интегралов и получают решение первого уравнения. Тут я полностью терял нить изложения, и всё происходящее напоминало мне шаманские пляски с бубном. Позже я прочёл в строгих курсах, что это уравнение сводится к уравнению в полных дифференциалах. Но уравнение в полных дифференциалах я тоже не понимал, пока не ознакомился с простейшими понятиями диффренциальных форм (замкнутые, точные формы). Так что простой и понятный (в то же время строгий) курс дифференциальных уравнений написать не так просто. Возьмите стандартный курс ДУ для инженеров (например, Романко). Там достаточно много сложных понятий, и не уверен, что средний инженер это всё освоит. Например, нужно помнить, что изучалось раньше в других курсах. (Например, не забыть, что такое жорданова нормальная форма матрицы и матричная экспонента. Основы ТФКП надо знать при изучении операционного метода.). А то что студенты быстро всё забывают - это вполне естественно. Это вполне нормальная физиологическая реакция организма на избыток информации. Мозг перестраивает свою работу с долговременной на кратковременную память, и работает по принципу - сдать экзамен и забыть. Чтобы с этим бороться, можно например, разбить курс ДУ на основной и дополнительный. А дополнительный пусть изучают лишь те, кто претендует на красный диплом или на приём в аспирантуру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 12:06 


21/07/10
555
мат-ламер в сообщении #343636 писал(а):
Чтобы с этим бороться, можно например, разбить курс ДУ на основной и дополнительный. А дополнительный пусть изучают лишь те, кто претендует на красный диплом или на приём в аспирантуру.



Было уже - разделение предметов на основные и второстепенные. В фильме "Доживем до понедельника" :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 12:13 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург

(Оффтоп)

alex1910 в сообщении #343976 писал(а):
Было уже - разделение предметов на основные и второстепенные. В фильме "Доживем до понедельника" :)
Там, насколько я помню, не о предметах, а о поэтах речь шла. Конкретно -- о Баратынском.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 12:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
мат-ламер в сообщении #343636 писал(а):
Чтобы с этим бороться, можно например, разбить курс ДУ на основной и дополнительный.

Это дороговато выйдет, но, в принципе, возможно. У нас у компьютерщиков, в принципе, так и делается. Основной поток получает очень куцие сведения о ДУ (несколько лекций во втором семестре) -- основные понятия, простейшие уравнения 1-го порядка, решение линейных уравнений и систем операционным методом и, кажется, всё. В общем, только чтоб ознакомиться с предметом, да им больше и не нужно. А вот тем из них, кто потом специализируется на прикладной математике -- дополнительно читается уже достаточно серьёзный двухсеместровый курс.

Тут масса проблем методического характера. Вот, скажем:

мат-ламер в сообщении #343636 писал(а):
Например, не забыть, что такое жорданова нормальная форма матрицы и матричная экспонента.

Студенты мучаются этим в курсе алгебры, и даже не из-за чудовищной громоздкости (по сравнению другими разделами) -- в конце концов, в детали доказательств можно и не вникать, их обычно и не дают -- а потому, что не понимают: ну нахрена, нахрена всё это нужно?... В отличие, скажем, от просто диагонализации матрицы, которая подкрепляется примерно параллельно излагаемыми экстремумами функций нескольких переменных. А нужно это вот ровно для изучения ДУ и, грубо говоря, ни для чего больше. Однако курса ДУ (такого, в котором это действительно требовалось бы) -- на тот момент ещё нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 13:18 


21/07/10
555
Извиняюсь за оффтоп.

1. А что такого громоздкого в вычислении жордановой формы, если, конечно, не мучить людей большими матрицами?

2. Приведение к жордановой форме - не единственный способ вычисления экспоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 15:09 
Заслуженный участник


11/05/08
31881

(Оффтоп)

alex1910 в сообщении #343988 писал(а):
Извиняюсь за оффтоп.

Ничего, я Вас поддержу.

alex1910 в сообщении #343988 писал(а):
А что такого громоздкого в вычислении жордановой формы,

Всё. Уже даже доказательство существования такого разложения -- многостранично и к тому же обычно привлекает достаточно экзотические (для собственно матричной алгебры) понятия. С вычислением -- не лучше: даже для матриц 3 на 3 процедура (вообще говоря) не вполне тривиальна; если же рассматривать мало-мальски общую ситуацию -- то в любом варианте занудна донельзя. Мне, во всяком случае, ничего прозрачного не попадалось.

alex1910 в сообщении #343988 писал(а):
Приведение к жордановой форме - не единственный способ вычисления экспоненты.

Интересно, а какой ещё?... (речь именно о вычислении, а не о формальном определении)

Кроме того, для матрицы $e^{tA}$ представляет интерес не только и даже не столько способ её явного вычисления, сколько выявление характера её зависимости от $t$. А тут без жордановой формы никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 16:33 


21/07/10
555
ewert в сообщении #344004 писал(а):
[Интересно, а какой ещё?... (речь именно о вычислении, а не о формальном определении)

Кроме того, для матрицы $e^{tA}$ представляет интерес не только и даже не столько способ её явного вычисления, сколько выявление характера её зависимости от $t$. А тут без жордановой формы никак.


Ну как. Пусть известны все корни характеристического многочлена.
Построим по этим корням ( с учетом кратностей) интерполяционный многочлен экспоненты, тогда экспонента равна значению интерполяционного многочлена в матрице.

См., например, Винберг, курс Алгебры, 2001, стр. 253.

-- Чт авг 12, 2010 17:46:56 --

Если все это делается для решения ДУ - просто выражаем его как линейную комб. собственных функций с неопр. коэфициентами.

Коэфициенты находим из начальных условий задачи Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 18:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
alex1910 в сообщении #344017 писал(а):
Построим по этим корням ( с учетом кратностей) интерполяционный многочлен экспоненты, тогда экспонента равна значению интерполяционного многочлена в матрице.

С какой стати-то равна?... и что такое вообще экспонента?... это всё безыдейно.

alex1910 в сообщении #344017 писал(а):
Если все это делается для решения ДУ - просто выражаем его как линейную комб. собственных функций с неопр. коэфициентами.

А там нет собственных функций как класса, это из совсем другой оперы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 21:30 


21/07/10
555
1. Равна, потому что exp(At)=g(At)+Pol(At), причем g(At)=0:)

Идея довольно старая и известная, у Винберга хорошо описанная.

2. Собственные функции при решении ДУ - вполне себе та опера. И нахождение их правильной комбинации не требует ни вычисления матричной экспоненты, ни, тем более, жордановой формы.

-- Чт авг 12, 2010 22:34:37 --

Кстати, идея, естественно, работает для любой аналитической функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"
Сообщение12.08.2010, 21:56 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
alex1910 в сообщении #344055 писал(а):
Собственные функции при решении ДУ - вполне себе та опера.

Нет. При решении ДУ как таковых собственных функций не бывает как класса. Возможно, некоторые энтузиасты способны назвать собственными функциями фундаментальные решения, но это диверсия -- неприлично подрывать установившуюся терминологию. Тем более, что собственные элементы в общепринятом понимании с известными оговорками определяются однозначно, фундаментальные же решения -- ни в каком смысле.

alex1910 в сообщении #344055 писал(а):
И нахождение их правильной комбинации

"Правильных" комбинаций не бывает: любая комбинация может оказаться правильной или нет -- в зависимости от того, удовлетворяет или нет условиям задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group