Уравнение с параметром

[e7e5]

$x^4-4x^2+4kx-1=0$, $k>0$
Найти все $k$ на отрезке $[0;1]$ при которых уравнение будет иметь три положительных корня.

[mihailm]

выразим k нарисуем график получаем от положительной точки минимума до точки максимума

[e7e5]

mihailm в сообщении #343661 писал(а):

выразим k нарисуем график получаем от положительной точки минимума до точки максимума

Интересуют точные значения интервала для $k$
$f_1(x)=x^4-4x^2-1$
$f_2(x)=-4kx$
Попробовал порисовать. Получается что при $k>0.96225$ будут три корня.
При некотором чуть меньшем $k$ два корня.

Интересует нахождение точных значений.

[ИСН]

Когда графики двух функций касаются, то их производные... а, забейте, это сложно.

[AKM]

mihailm в сообщении #343661 писал(а):

выразим k нарисуем график получаем от положительной точки минимума до точки максимума

e7e5 в сообщении #343668 писал(а):

Интересуют точные значения интервала для $k$

mihailm дал точный ответ на вопрос. Точнее, дал способ получить точный ответ на вопрос. Предлагаю расписать то, что он расписать поскупился.
$k(x)=?$. $k'(x)=?$ Экстремумы $k(x)$ каковы?
Ну а начать надо с переформулирования исходного вопроса в терминах функции $k(x)$. Какие из $k$-горизонталей трижды пересекают график?
(Лишнее дополнительно-вспомогательное соображение: если положительных корней три, то действительных корней четыре; так что всего та $k$-горизонталь будет пересекать график четырежды.)

[alekcey]

Нет, чего-то я ошибся. Посмотрю позже...

[ewert]

e7e5 в сообщении #343668 писал(а):

$f_1(x)=x^4-4x^2-1$
$f_2(x)=-4kx$
Попробовал порисовать. Получается что при $k>0.96225$ будут три корня.
При некотором чуть меньшем $k$ два корня.

Интересует нахождение точных значений.

Число найдено правильно, а ответ -- не совсем верен.

$k=0.962250448649...$ -- это на самом деле $k=\dfrac{5}{3\sqrt3}$.

Идея порисовать -- правильная, только делать это лучше мысленно, а не на экране. У Вас первый график -- это симметричная кривая с двумя горбиками вниз, второй -- прямая. Вот этот второй и покачайте, меняя $k$. Видно, что происходит?... При $k=0$ две точки пересечения (симметричных относительно нуля). По мере увеличения $k$ при некотором его критическом значении прямая коснётся кривой где-то между теми двумя корнями и окажется три корня, а сразу после этого точка касания расщепится на две точки пересечения и корней станет четыре. При следующем критическом значении $k$ сольются в одно два других решения, т.е. окажется снова три корня, ну а при всех больших $k$ точек пересечения будет снова лишь две.

Т.е. требуется поймать значения $k$, при которых наблюдается касание, а это стандартно: надо решить систему из двух уравнений $f_1(x)=f_2(x)$ и $f'_1(x)=f'_2(x)$ для двух неизвестных $x$ и $k$. После исключения из неё $k$ получается биквадратное уравнение, так что всё просто. Одно из значений $k$ Вы угадали, хоть и численно, а другое -- это единичка. Строго между ними и будет то, что нужно.

[e7e5]

ewert в сообщении #343723 писал(а):

e7e5 в сообщении #343668 писал(а):

$f_1(x)=x^4-4x^2-1$
$f_2(x)=-4kx$
Попробовал порисовать. Получается что при $k>0.96225$ будут три корня.
При некотором чуть меньшем $k$ два корня.

Интересует нахождение точных значений.

Число найдено правильно, а ответ -- не совсем верен.

$k=0.962250448649...$ -- это на самом деле $k=\dfrac{5}{3\sqrt3}$.

Идея порисовать -- правильная, только делать это лучше мысленно, а не на экране. У Вас первый график -- это симметричная кривая с двумя горбиками вниз, второй -- прямая. Вот этот второй и покачайте, меняя $k$. Видно, что происходит?...

Уважаемый ewert не совсем видно.
Величину $k=\dfrac{5}{3\sqrt3}$ удалось получить. Здесь ясно.

Если $k=1$ получается два положительных корня:

$x_1=1$
$x_2=\sqrt2 -1$
Но почему в cколь угодно малой окрестности слева от $k=1$ будут появляться сразу три положительных корня? Как это доказать для этой окрестности?

[ewert]

А нужно ли формально доказывать то, что геометрически и без того очевидно?...

Ну если очень уж приспичит, то можно так. Пусть А и В -- две найденные нами точки касания, отвечающие $k={5\over3\sqrt3}$ и $k=1$ (других точек касания, между прочим, нет и быть не может -- мы ведь честно их искали). Если $k\in({5\over3\sqrt3};1)$, то прямая $y=f_2(x)=kx$ проходит ниже точки А и выше точки В, причём А лежит левее В. Это означает, что уравнение $f_1(x)=f_2(x)$ имеет как минимум три положительных решения: одно левее А, одно между А и В и одно правее В. Кроме того, оно имеет как минимум одно отрицательное решение. А больше решений оно и не может иметь, т.к. это уравнение 4-й степени. Стало быть, так оно и есть: в указанном интервале -- именно один отрицательный корень и именно три положительных.