![$f_1(x)=x^4-4x^2-1$ $f_1(x)=x^4-4x^2-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/b/0cb46289e96cc92ab65971aedfb8f37282.png)
![$f_2(x)=-4kx$ $f_2(x)=-4kx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/8/7082fa363a14a6228d53c858ba5d8d9482.png)
Попробовал порисовать. Получается что при
![$k>0.96225$ $k>0.96225$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/6/186e94ae7c638c5571e936ed6e3e196182.png)
будут три корня.
При некотором чуть меньшем
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
два корня.
Интересует нахождение точных значений.
Число найдено правильно, а ответ -- не совсем верен.
![$k=0.962250448649...$ $k=0.962250448649...$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/e/89e728090cdab4d35ec55e8e0eaae05082.png)
-- это на самом деле
![$k=\dfrac{5}{3\sqrt3}$ $k=\dfrac{5}{3\sqrt3}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/4/87450b806d381aff8e3f883cc659e4cc82.png)
.
Идея порисовать -- правильная, только делать это лучше мысленно, а не на экране. У Вас первый график -- это симметричная кривая с двумя горбиками вниз, второй -- прямая. Вот этот второй и покачайте, меняя
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
. Видно, что происходит?... При
![$k=0$ $k=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/f/8df03261b67972f1573d96bd4fcb462e82.png)
две точки пересечения (симметричных относительно нуля). По мере увеличения
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
при некотором его критическом значении прямая коснётся кривой где-то между теми двумя корнями и окажется три корня, а сразу после этого точка касания расщепится на две точки пересечения и корней станет четыре. При следующем критическом значении
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
сольются в одно два других решения, т.е. окажется снова три корня, ну а при всех больших
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
точек пересечения будет снова лишь две.
Т.е. требуется поймать значения
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, при которых наблюдается касание, а это стандартно: надо решить систему из двух уравнений
![$f_1(x)=f_2(x)$ $f_1(x)=f_2(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/f/0cfd2033fbb7b4379b750df9268d387f82.png)
и
![$f'_1(x)=f'_2(x)$ $f'_1(x)=f'_2(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/e/22eed04e86a09c25b72a68d7970286a682.png)
для двух неизвестных
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
. После исключения из неё
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
получается биквадратное уравнение, так что всё просто. Одно из значений
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
Вы угадали, хоть и численно, а другое -- это единичка. Строго между ними и будет то, что нужно.